Какая будет максимальное и минимальное значение функции у, если у=корень (-4х-3) -3*корень(4х+5)?

Конечно! Давайте решим данную задачу пошагово и подробно.

Дано: \(у = \sqrt{-4х-3} - 3\sqrt{4х+5}\)

Для начала, давайте рассмотрим ограничения на значения переменной \(х\), чтобы функция оставалась определенной. В данной задаче, под знаком корня, величины \(-4х-3\) и \(4х+5\) должны быть неотрицательными, так как извлечение корня из отрицательной величины неопределено в действительных числах.

Таким образом, необходимо выполнение двух неравенств:

\(-4х-3 \geq 0\)

и

\(4х+5 \geq 0\)

Решим первое неравенство:

\(-4х - 3 \geq 0\)

Добавим 3 к обеим частям:

\(-4х \geq 3\)

Разделим обе части неравенства на -4, не забывая, что мы должны поменять направление неравенства, так как делим на отрицательное число:

\(х \leq -\frac{3}{4}\)

Теперь решим второе неравенство:

\(4х + 5 \geq 0\)

Вычтем 5 из обеих частей:

\(4х \geq -5\)

Разделим обе части неравенства на 4:

\(х \geq -\frac{5}{4}\)

Таким образом, ограничения для переменной \(х\) состоят в том, что \(х\) должен быть меньше или равным \(-\frac{3}{4}\) и больше или равным \(-\frac{5}{4}\).

Теперь перейдем к нахождению максимального и минимального значений функции \(у\).

Минимальное значение функции может быть достигнуто тогда, когда выражение под первым корнем \(-4х-3\) максимально, а выражение под вторым корнем \(4х+5\) минимально. Поэтому возьмем наименьшие значения для переменной \(х\) из области допустимых значений.

Максимальное значение функции может быть достигнуто, когда выражение под первым корнем \(-4х-3\) минимально, а выражение под вторым корнем \(4х+5\) максимально. Поэтому возьмем наибольшие значения для переменной \(х\) из области допустимых значений.

Итак, минимальное и максимальное значения функции \(у\) будут найдены при использовании следующих значений переменной \(х\):

Минимальное значение функции:

\(х = -\frac{3}{4}\)

Подставим это значение в исходное уравнение:

\(у = \sqrt{-4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) - 3} - 3\sqrt{4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + 5}\)

\(у = \sqrt{3 - 3} - 3\sqrt{-3 + 5}\)

\(у = \sqrt{0} - 3\sqrt{2}\)

\(у = 0 - 3\sqrt{2}\)

\(у = -3\sqrt{2}\)

Максимальное значение функции:

\(х = -\frac{5}{4}\)

Подставим это значение в исходное уравнение:

\(у = \sqrt{-4 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) - 3} - 3\sqrt{4 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) + 5}\)

\(у = \sqrt{\frac{5}{4} - 3} - 3\sqrt{-5 + 5}\)

\(у = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{12}{4}} - 3\sqrt{0}\)

\(у = \sqrt{-\frac{7}{4}} - 0\)

Поскольку у нас появилось отрицательное значение под корнем и мы решаем задачу в действительных числах, то данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Таким образом, минимальное значение функции \(у\) равно \(-3\sqrt{2}\), а максимальное значение не существует в области действительных чисел.