Какая амплитуда скорости и смещение груза из равновесного состояния в момент времени t=T/4 для колебаний пружинного

Для решения этой задачи мы будем использовать уравнение для колебаний пружинного маятника. В данном случае, уравнение имеет вид:

\[x(t) = A\sin(\omega t + \phi)\]

где:
- \(x(t)\) - смещение груза в момент времени \(t\),
- \(A\) - амплитуда колебаний (максимальное смещение),
- \(\omega\) - угловая частота колебаний,
- \(\phi\) - начальная фаза колебаний.

В данной задаче, уравнение колебаний пружинного маятника дано как \(0.05\sin(10\pi t + \pi/4)\). Посмотрим, какие значения принимает угол \(\omega t + \phi\) в момент времени \(t=T/4\).

Для начала, выразим \(\omega\) из исходного уравнения. В данном случае, \(\omega = 10\pi\).

Теперь, найдем значение угла \(\omega t + \phi\) в момент времени \(t=T/4\). Подставим \(t=T/4\) в уравнение:

\[\omega t + \phi = 10\pi \cdot \frac{T}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi T}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}\]

Таким образом, в момент времени \(t=T/4\), угол \(\omega t + \phi\) принимает значение \(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}\).

Теперь, чтобы найти амплитуду скорости и смещение груза в этот момент времени, мы можем использовать следующие формулы:

Амплитуда скорости:
\[v_{max} = A\omega \cdot \cos(\omega t + \phi)\]

Смещение груза:
\[x_{max} = A \cdot \sin(\omega t + \phi)\]

Подставим значения \(\omega\), \(t=T/4\), и \(\phi = \frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}\) в эти формулы:

\[v_{max} = A \cdot (10\pi) \cdot \cos\left(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\]

\[x_{max} = A \cdot \sin\left(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\]

Таким образом, амплитуда скорости груза и его смещение из равновесного состояния в момент времени \(t=T/4\) определяются выражениями:

\[v_{max} = A \cdot (10\pi) \cdot \cos\left(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\]

\[x_{max} = A \cdot \sin\left(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\]