Как записать√3 с точностью до четырех знаков после запятой и найти границу абсолютной погрешности приближения?

Чтобы записать число \(\sqrt{3}\) с точностью до четырех знаков после запятой, мы можем использовать метод итераций.

Шаг 1: Начнем с некоторого начального приближения \(x_0\). Допустим, мы возьмем \(x_0 = 1\).

Шаг 2: Для получения следующего приближения, мы используем следующую формулу:

\[x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{3}{x_n} \right)\]

Шаг 3: Применим эту формулу к \(x_0\) и найдем \(x_1\):

\[x_1 = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{3}{1} \right) = \frac{4}{2} = 2\]

Шаг 4: Продолжим применять эту формулу для получения последующих приближений:

\[x_2 = \frac{1}{2} \left( 2 + \frac{3}{2} \right) = \frac{7}{4} = 1.75\]
\[x_3 = \frac{1}{2} \left( 1.75 + \frac{3}{1.75} \right) = \frac{253}{144} \approx 1.7569\]
\[x_4 = \frac{1}{2} \left( 1.7569 + \frac{3}{1.7569} \right) \approx 1.7321\]

Шаг 5: Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не достигнем желаемой точности после запятой. В данном случае, мы получили приближенное значение \(\sqrt{3}\) равное 1.7321.

Чтобы найти границу абсолютной погрешности данного приближения, мы используем формулу:

\[|x_n - \sqrt{3}|\]

где \(x_n\) - приближенное значение, полученное на шаге \(n\), а \(\sqrt{3}\) - истинное значение. В данном случае, \(\sqrt{3} \approx 1.7321\).

\[|x_4 - \sqrt{3}| = |1.7321 - 1.7321| = 0\]

Таким образом, граница абсолютной погрешности данного приближения равна 0. Это означает, что наше приближение 1.7321 точно до четырех знаков после запятой.