Как выразить вектор ST через векторы BA=a и BC=b в параллелограмме ABCD, где на сторонах AD и CD отмечены точки S

Для решения данной задачи нам потребуется использовать соотношение между векторами в параллелограмме.

Мы можем заметить, что вектор ST можно представить как сумму векторов SA, AT и TS. При этом вектор SA является разностью векторов SB и BA, а вектор AT - разностью векторов AC и CT.

То есть, мы можем записать вектор ST следующим образом:

$$ST=SA+AT+TS=(SB-BA)+(AC-CT)+TS$$

Теперь, давайте выразим вектор SB через векторы BA и BC. В силу свойств параллелограмма, вектор SB совпадает с вектором BC:

$$SB=BC=b$$

Аналогично, вектор AC можно выразить через векторы BA и BC. Поскольку точка A расположена на стороне AD, а точка C - на стороне CD, мы можем записать:

$$AC=AD-CD=(BA+AS)-(BC+CT)$$

Вспомним, что AS:SD = 5:3 и CT:TD = 2:1. Это означает, что мы можем выразить AS и CT через векторы BA и BC:

$$AS=\frac{5}{5+3}\cdot BA=\frac{5}{8}\cdot a$$
$$CT=\frac{2}{2+1}\cdot BC=\frac{2}{3}\cdot b$$

Используя эти выражения, мы можем записать:

$$AC=(BA+\frac{5}{8}\cdot a)-(b+\frac{2}{3}\cdot b)$$

Далее, разложим вектор TS по базису, выразив его через векторы BA и BC. Заметим, что векторы TS и AD являются параллельными, так как AD и TS - свободные векторы, имеющие одинаковое направление и смещение.

Тогда мы можем выразить вектор TS через векторы BA и BC с помощью следующего соотношения:

$$TS=\lambda \cdot AD=\lambda \cdot (BA+AS+AC)$$

где $\lambda$ - некоторый коэффициент. Подставим значение вектора AC из предыдущего выражения и выразим вектор TS:

$$TS=\lambda \cdot (BA+\frac{5}{8}\cdot a-b-\frac{2}{3}\cdot b)$$

Теперь, если мы сложим все полученные выражения, мы получим выражение вектора ST через векторы BA и BC:

$$ST=(b-BA)+((BA+\frac{5}{8}\cdot a)-(b+\frac{2}{3}\cdot b))+(\lambda \cdot (BA+\frac{5}{8}\cdot a-b-\frac{2}{3}\cdot b))$$

Далее эту сумму можно упростить, объединить подобные слагаемые и получить окончательное выражение вектора ST через заданные векторы BA и BC.