Как выразить вектор ST через векторы BA=a и BC=b в параллелограмме ABCD, где на сторонах AD и CD отмечены точки S

Для решения данной задачи нам потребуется использовать соотношение между векторами в параллелограмме.

Мы можем заметить, что вектор ST можно представить как сумму векторов SA, AT и TS. При этом вектор SA является разностью векторов SB и BA, а вектор AT - разностью векторов AC и CT.

То есть, мы можем записать вектор ST следующим образом:

\[ST = SA + AT + TS = (SB - BA) + (AC - CT) + TS\]

Теперь, давайте выразим вектор SB через векторы BA и BC. В силу свойств параллелограмма, вектор SB совпадает с вектором BC:

\[SB = BC = b\]

Аналогично, вектор AC можно выразить через векторы BA и BC. Поскольку точка A расположена на стороне AD, а точка C - на стороне CD, мы можем записать:

\[AC = AD - CD = (BA + AS) - (BC + CT)\]

Вспомним, что AS:SD = 5:3 и CT:TD = 2:1. Это означает, что мы можем выразить AS и CT через векторы BA и BC:

\[AS = \frac{5}{5+3} \cdot BA = \frac{5}{8} \cdot a\]
\[CT = \frac{2}{2+1} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot b\]

Используя эти выражения, мы можем записать:

\[AC = (BA + \frac{5}{8} \cdot a) - (b + \frac{2}{3} \cdot b)\]

Далее, разложим вектор TS по базису, выразив его через векторы BA и BC. Заметим, что векторы TS и AD являются параллельными, так как AD и TS - свободные векторы, имеющие одинаковое направление и смещение.

Тогда мы можем выразить вектор TS через векторы BA и BC с помощью следующего соотношения:

\[TS = \lambda \cdot AD = \lambda \cdot (BA + AS + AC)\]

где \(\lambda\) - некоторый коэффициент. Подставим значение вектора AC из предыдущего выражения и выразим вектор TS:

\[TS = \lambda \cdot (BA + \frac{5}{8} \cdot a - b - \frac{2}{3} \cdot b)\]

Теперь, если мы сложим все полученные выражения, мы получим выражение вектора ST через векторы BA и BC:

\[ST = (b - BA) + ((BA + \frac{5}{8} \cdot a) - (b + \frac{2}{3} \cdot b)) + (\lambda \cdot (BA + \frac{5}{8} \cdot a - b - \frac{2}{3} \cdot b))\]

Далее эту сумму можно упростить, объединить подобные слагаемые и получить окончательное выражение вектора ST через заданные векторы BA и BC.