Как упростить следующее выражение: Tg^2a - sin^2a ——————— - (tg^6a-7) Ctg^2a- cos^2a?

Хорошо, давайте рассмотрим, как упростить данное выражение пошагово с пояснениями.

1. Начнем с числителя выражения: \( \tan^2a - \sin^2a \). Здесь мы видим два квадрата тригонометрических функций. Мы можем использовать тригонометрическую формулу разности квадратов для упрощения данной части выражения. Эта формула гласит: \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \).

2. Применим формулу разности квадратов к выражению \( \tan^2a - \sin^2a \).
\[ \tan^2a - \sin^2a = (\tan a + \sin a)(\tan a - \sin a) \]

3. Теперь перейдем к знаменателю выражения: \( \cot^2a - \cos^2a \). Здесь мы также видим разность квадратов, но с другими тригонометрическими функциями. Применим формулу разности квадратов:
\[ \cot^2a - \cos^2a = (\cot a + \cos a)(\cot a - \cos a) \]

4. Объединим полученные два выражения в исходном выражении:
\[ \frac{(\tan a + \sin a)(\tan a - \sin a)}{(\cot a + \cos a)(\cot a - \cos a)} \]

5. Теперь мы можем заметить, что в числителе и знаменателе присутствуют разности квадратов. Мы можем упростить выражение, сократив эти разности:
\[ \frac{\left(\frac{\tan a + \sin a}{\cot a + \cos a}\right)\left(\frac{\tan a - \sin a}{\cot a - \cos a}\right)}{1} \]

6. Заметим, что \(\frac{\tan a + \sin a}{\cot a + \cos a} = 1\), так как тангенс и котангенс – это обратные функции, и их соотношение равно 1.
\[ \frac{\left(\frac{\tan a - \sin a}{\cot a - \cos a}\right)}{1} \]

7. Получаем окончательный ответ:
\[ \frac{\tan a - \sin a}{\cot a - \cos a} \]

Таким образом, мы упростили исходное выражение до \(\frac{\tan a - \sin a}{\cot a - \cos a}\).