Как связаны перемещение, скорость и ускорение материальной точки с течением времени при движении по заданным уравнениям

Чтобы понять, как связаны перемещение, скорость и ускорение материальной точки с течением времени при движении по заданным уравнениям \(x = (5 + 4t^2) \) и \(y = (3t^2) \), нам нужно воспользоваться математическим аппаратом дифференцирования.

Уравнения \(x = (5 + 4t^2) \) и \(y = (3t^2) \) описывают движение по осям x и y соответственно. Если мы дифференцируем эти уравнения по времени t, то получим скорость по каждой из осей.

Дифференцируем уравнение x по t:
\[\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (5 + 4t^2)\]

Сначала дифференцируем константу 5, что даст нам ноль, а затем дифференцируем \(4t^2\), применяя правила дифференцирования:
\[\frac{{dx}}{{dt}} = 0 + 2(4)(t^{2-1}) = 8t\]

Теперь дифференцируем уравнение y по t:
\[\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (3t^2)\]

Повторяем процесс дифференцирования:
\[\frac{{dy}}{{dt}} = 0 + 2(3)(t^{2-1}) = 6t\]

Таким образом, скорость по оси x будет равна \(8t\), а скорость по оси y будет равна \(6t\).

Траектория движения тела определяется, когда мы находим перемещение по осям x и y. Мы можем найти перемещение, интегрируя скорость по времени.

Интегрируем скорость по x:
\[x = \int 8t \, dt = 4t^2 + C_1\]

Интегрируем скорость по y:
\[y = \int 6t \, dt = 3t^2 + C_2\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - постоянные интегрирования, которые могут быть определены при наличии начальных условий.

Таким образом, перемещение объекта по осям x и y связано с течением времени и задается уравнениями \(x = 4t^2 + C_1\) и \(y = 3t^2 + C_2\).

Чтобы построить траекторию движения тела на графике, нам понадобятся значения \(C_1\) и \(C_2\), чтобы определить начальные условия. Вы можете выбрать произвольные значения для \(C_1\) и \(C_2\) или определить их из дополнительной информации задачи.

После определения значений \(C_1\) и \(C_2\) мы сможем построить график, где ось x соответствует перемещению по x, ось y - перемещению по y и точки на графике будут представлять движение тела по траектории.