Как решить уравнение 3tg^3x - tgx + 3tg^2x

Для начала, нам нужно решить уравнение \(3\tan^3 x - \tan x + 3\tan^2 x\).

Шаг 1: Перепишем уравнение в терминах синуса и косинуса, используя тождество \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\):

\[3\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^3 - \dfrac{\sin x}{\cos x} + 3\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^2\]

Шаг 2: Приведем выражение к общему знаменателю, умножив каждое слагаемое на \(\cos^3 x\):

\[3\sin^3 x - \sin x \cos^2 x + 3\sin^2 x \cos x\]

Шаг 3: Раскроем скобки, используя формулы для куба синуса и квадрата синуса:

\[3\sin^3 x - \sin x \cos^2 x + 3\sin^2 x \cos x\]
\[= 3\sin^3 x - \sin x (1 - \sin^2 x) + 3\sin^2 x \cos x\]
\[= 3\sin^3 x - \sin x + \sin^3 x + 3\sin^2 x \cos x\]

Шаг 4: Сгруппируем слагаемые:

\[4\sin^3 x + 3\sin^2 x \cos x - \sin x \]

Шаг 5: Определимся с заменой переменных. Положим \(t = \sin x\), тогда уравнение будет иметь вид:

\[4t^3 + 3t^2 \cos x - t\]

Шаг 6: Решим полученное уравнение относительно \(t\).

Такое кубическое уравнение может быть довольно сложным для решения в общем виде. В данном случае мы ищем одно из возможных решений, когда \(\cos x = 1\). Это значит, что \(x = 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Шаг 7: Ответ.

Решение исходного уравнения \(3\tan^3 x - \tan x + 3\tan^2 x\) имеет бесконечное количество корней, которые можно найти, когда \(\cos x = 1\) и \(x = 2\pi n\), где \(n\) - целое число.