Как решить систему неравенств: {х^2-х + 6> 0 (х-5) (х

Для решения данной системы неравенств, начнем с того, что решим каждую неравенство по отдельности.

Начнем с первого неравенства $x^2-x+6>0$. Чтобы решить это квадратное неравенство, нужно найти его корни. Для этого можно воспользоваться квадратным трехчленом.

Стандартная форма квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ позволяет нам найти его корни с помощью формулы дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

Если дискриминант D положителен, то у уравнения есть два различных вещественных корня. Если D равен нулю, то уравнение имеет один корень (корень является кратным). Если D отрицателен, то корней нет в действительных числах.

В квадратном трехчлене $x^2-x+6$, коэффициенты равны: $a=1$, $b=-1$, $c=6$.

Теперь вычислим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=1-24=-23$$

Поскольку дискриминант D отрицателен, корней данного квадратного уравнения в действительных числах нет.

Исходя из этого, уравнение $x^2-x+6>0$ не имеет решений.

Перейдем к решению второго неравенства $(x-5)(x+2)\le 0$. Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти интервалы значений переменной $x$, при которых неравенство выполнено.

Для начала определим значения переменной $x$, при которых выражение $(x-5)(x+2)=0$. Эти значения называются корнями уравнения, а также точками, где неравенство меняет направление.

Решим уравнение $(x-5)(x+2)=0$:

1) При $x-5=0$ получаем $x=5$.
2) При $x+2=0$ получаем $x=-2$.

Теперь разобьем числовую прямую на три интервала: $-\mathrm{\infty }<x<-2$, $-2<x<5$, $5<x<+\mathrm{\infty }$.

Выберем произвольную точку из каждого интервала и проверим, будет ли неравенство выполнено.

Например:
1) При $x=-3$ у нас имеем $(-3-5)(-3+2)=(-8)\cdot (-1)=8>0$.
2) При $x=0$ у нас имеем $(0-5)(0+2)=(-5)\cdot 2=-10<0$.
3) При $x=6$ у нас имеем $(6-5)(6+2)=1\cdot 8=8>0$.

Таким образом, неравенство $(x-5)(x+2)\le 0$ выполняется только в интервале $-2\le x\le 5$.

Итак, решение системы неравенств $\{\begin{array}{l}{x}^2-x+6>0\\ (x-5)(x+2)\le 0\end{array}$ состоит в том, что неравенство не имеет решений, так как первое неравенство не выполняется, а второе выполняется только в интервале $-2\le x\le 5$.