Как решить систему неравенств: {х^2-х + 6> 0 (х-5) (х

Для решения данной системы неравенств, начнем с того, что решим каждую неравенство по отдельности.

Начнем с первого неравенства \(x^2 - x + 6 > 0\). Чтобы решить это квадратное неравенство, нужно найти его корни. Для этого можно воспользоваться квадратным трехчленом.

Стандартная форма квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) позволяет нам найти его корни с помощью формулы дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Если дискриминант D положителен, то у уравнения есть два различных вещественных корня. Если D равен нулю, то уравнение имеет один корень (корень является кратным). Если D отрицателен, то корней нет в действительных числах.

В квадратном трехчлене \(x^2 - x + 6\), коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 6\).

Теперь вычислим дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23\]

Поскольку дискриминант D отрицателен, корней данного квадратного уравнения в действительных числах нет.

Исходя из этого, уравнение \(x^2 - x + 6 > 0\) не имеет решений.

Перейдем к решению второго неравенства \((x - 5)(x + 2) \leq 0\). Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти интервалы значений переменной \(x\), при которых неравенство выполнено.

Для начала определим значения переменной \(x\), при которых выражение \((x - 5)(x + 2) = 0\). Эти значения называются корнями уравнения, а также точками, где неравенство меняет направление.

Решим уравнение \((x - 5)(x + 2) = 0\):

1) При \(x - 5 = 0\) получаем \(x = 5\).
2) При \(x + 2 = 0\) получаем \(x = -2\).

Теперь разобьем числовую прямую на три интервала: \(-\infty < x < -2\), \(-2 < x < 5\), \(5 < x < +\infty\).

Выберем произвольную точку из каждого интервала и проверим, будет ли неравенство выполнено.

Например:
1) При \(x = -3\) у нас имеем \((-3 - 5)(-3 + 2) = (-8) \cdot (-1) = 8 > 0\).
2) При \(x = 0\) у нас имеем \((0 - 5)(0 + 2) = (-5) \cdot 2 = -10 < 0\).
3) При \(x = 6\) у нас имеем \((6 - 5)(6 + 2) = 1 \cdot 8 = 8 > 0\).

Таким образом, неравенство \((x - 5)(x + 2) \leq 0\) выполняется только в интервале \(-2 \leq x \leq 5\).

Итак, решение системы неравенств \(\begin{cases} x^2 - x + 6 > 0 \\ (x - 5)(x + 2) \leq 0 \end{cases}\) состоит в том, что неравенство не имеет решений, так как первое неравенство не выполняется, а второе выполняется только в интервале \(-2 \leq x \leq 5\).