Как привести квадратичную форму f(x,y,z) к нормальному виду g(x ,y

Для приведения квадратичной формы \(f(x, y, z)\) к нормальному виду \(g(x"", y"", z"")\), мы должны выполнить следующие шаги:

1. Запишем исходную квадратичную форму \(f(x, y, z)\):

\[f(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J\]

2. Создадим новые переменные \(x""\), \(y""\), и \(z""\):

\[x"" = Tx + Uy + Vz\]
\[y"" = Wx + Xy + Yz\]
\[z"" = Zx + Ay + Bz\]

Здесь \(T\), \(U\), \(V\), \(W\), \(X\), \(Y\), \(Z\), \(A\), \(B\) - некоторые коэффициенты, которые мы будем находить.

3. Подставим новые переменные в исходную квадратичную форму:

\[f(x, y, z) = A(Tx + Uy + Vz)^2 + B(Wx + Xy + Yz)^2 + C(Zx + Ay + Bz)^2\]
\[+ D(Tx + Uy + Vz)(Wx + Xy + Yz) + E(Tx + Uy + Vz)(Zx + Ay + Bz)\]
\[+ F(Wx + Xy + Yz)(Zx + Ay + Bz) + G(Tx + Uy + Vz) + H(Wx + Xy + Yz)\]
\[+ I(Zx + Ay + Bz) + J\]

4. Раскроем все скобки и сгруппируем однотипные элементы:

\[f(x, y, z) = A(T^2x^2 + U^2y^2 + V^2z^2) + B(W^2x^2 + X^2y^2 + Y^2z^2) + C(Z^2x^2 + A^2y^2 + B^2z^2)\]
\[+ 2DTxy + 2EUxz + 2FYZy + 2GTx + 2HWxy + 2IZx\]
\[+ 2UTxy + 2UVxz + 2VUyz + 2WX^2y^2 + 2WYXyz + 2WZXx + 2AX^2y^2\]
\[+ 2AY^2z^2 + 2BZXx + 2BAY^2z^2 + 2BZXz\]
\[+ 2(DTWxy + DTUxz + DTy + EUy + EVz + FYZz + Gx + HWx + HXy)\]
\[+ 2(IZx + Iy + J)\]

5. Чтобы получить нормальный вид, нам необходимо подобрать коэффициенты \(T\), \(U\), \(V\), \(W\), \(X\), \(Y\), \(Z\), \(A\), \(B\) таким образом, чтобы обращались в нуль коэффициенты при квадратичных и линейных членах:

\[A(T^2x^2 + U^2y^2 + V^2z^2) + B(W^2x^2 + X^2y^2 + Y^2z^2) + C(Z^2x^2 + A^2y^2 + B^2z^2) = 0\]
\[DTxy + EUxz + FYZy + HWxy + IZx = 0\]
\[UTxy + UVxz + VUyz + WYXyz + WX^2y^2 + AY^2z^2 + BZXx + BAX^2y^2 + BAY^2z^2 + BZXz = 0\]
\[DTWxy + DTUxz + DTy + EUy + EVz + FYZz + Gx + HWx + HXy + IZx + Iy + J = 0\]

6. Решим эту систему уравнений относительно коэффициентов \(T\), \(U\), \(V\), \(W\), \(X\), \(Y\), \(Z\), \(A\), \(B\). Обратите внимание, что это может быть сложной и длительной задачей, которую можно выполнить с помощью матричных операций или численных методов.

7. Если система уравнений имеет решение, коэффициенты \(T\), \(U\), \(V\), \(W\), \(X\), \(Y\), \(Z\), \(A\), \(B\) можно подставить обратно в формулу, чтобы получить нормализованную квадратичную форму \(g(x"", y"", z"")\).

Заметьте, что в частном случае, когда квадратичная форма \(f(x, y, z)\) является полным квадратом, то есть имеет вид \(f(x, y, z) = (px + qy + rz)^2\), она уже будет находиться в нормальном виде.