Как представить следующие векторы через базу трех некомпланарных векторов, выходящих из одной вершины правильного

Для того чтобы представить векторы AC→, BM→ и DM→ через базу трех некомпланарных векторов, мы должны использовать линейную комбинацию этих базисных векторов. Пусть векторы, выходящие из одной вершины правильного тетраэдра и не лежащие в одной плоскости, обозначены как \(\vec{v}\), \(\vec{u}\) и \(\vec{w}\).

1. Вектор AC→:
Чтобы представить вектор AC→ через базу трех некомпланарных векторов, мы можем записать:
AC→ = AM→ + MC→

Заметим, что M - середина ребра AC. Поэтому, AM→ = \(\frac{1}{2}\)AC→ и MC→ = \(\frac{1}{2}\)AC→.

Используя это, мы можем записать:
AC→ = \(\frac{1}{2}\)AC→ + \(\frac{1}{2}\)AC→ + \(\vec{v}\)

Таким образом, вектор AC→ можно представить следующим образом:
AC→ = \(\frac{1}{2}\)AC→ + \(\frac{1}{2}\)AC→ + \(\vec{v}\)

2. Вектор BM→:
Аналогично, чтобы представить вектор BM→ через базу трех некомпланарных векторов, мы можем записать:
BM→ = BA→ + AM→

Заметим, что M - середина ребра BM. Поэтому, BA→ = \(\vec{u}\) и AM→ = \(\frac{1}{2}\)BM→.

Используя это, мы можем записать:
BM→ = \(\vec{u}\) + \(\frac{1}{2}\)BM→

Таким образом, вектор BM→ можно представить следующим образом:
BM→ = \(\vec{u}\) + \(\frac{1}{2}\)BM→

3. Вектор DM→:
Аналогично, чтобы представить вектор DM→ через базу трех некомпланарных векторов, мы можем записать:
DM→ = DA→ + AM→

Заметим, что M - середина ребра DM. Поэтому, DA→ = \(\vec{w}\) и AM→ = \(\frac{1}{2}\)DM→.

Используя это, мы можем записать:
DM→ = \(\vec{w}\) + \(\frac{1}{2}\)DM→

Таким образом, вектор DM→ можно представить следующим образом:
DM→ = \(\vec{w}\) + \(\frac{1}{2}\)DM→

Таким образом, мы получили представление векторов AC→, BM→ и DM→ через базу трех некомпланарных векторов, выходящих из одной вершины правильного тетраэдра, так, чтобы M и K были серединами ребер.
Для AC→: AC→ = \(\frac{1}{2}\)AC→ + \(\frac{1}{2}\)AC→ + \(\vec{v}\)
Для BM→: BM→ = \(\vec{u}\) + \(\frac{1}{2}\)BM→
Для DM→: DM→ = \(\vec{w}\) + \(\frac{1}{2}\)DM→