Как правильно решить дифференциальное уравнение X^2dx+ydy=0 при условии y=1 и x=0?

Хорошо, давайте решим данное дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение, которое нам дано, является уравнением с разделяющимися переменными. Мы можем решить его, разделяя переменные на обе стороны уравнения.

У нас есть уравнение \(x^2dx + ydy = 0\). Нам необходимо решить его с условием, что \(y = 1\) и \(x = 0\).

Для начала произведем разделение переменных. Делим уравнение на \(y\):

\[\frac{{x^2}}{{y}}dx + dy = 0\]

Теперь переместим все дифференциалы на одну сторону, а переменные на другую сторону:

\[\frac{{x^2}}{{y}}dx = -dy\]

Теперь интегрируем обе стороны уравнения. Поскольку наша цель - найти значение \(y\) в зависимости от \(x\), мы будем интегрировать по переменной \(x\). Интегрируя левую часть, получим:

\[\int \frac{{x^2}}{{y}}dx = \int -dy\]

Вычислим оба интеграла по очереди:

\[\int \frac{{x^2}}{{y}}dx = -\int dy\]

\[\int \frac{{x^2}}{{y}}dx = -y + C_1\]

где \(C_1\) - постоянная интегрирования.

Теперь используя условие \(y = 1\) и \(x = 0\), мы можем найти значение постоянной интегрирования. Вставляя эти значения в полученное уравнение, получаем:

\[-1 + C_1 = 0\]

\[C_1 = 1\]

Теперь мы можем записать окончательное решение нашего уравнения:

\[\frac{{x^2}}{{y}} = 1\]

\[x^2 = y\]

Таким образом, решение дифференциального уравнения \(x^2dx + ydy = 0\) при условии \(y = 1\) и \(x = 0\) - это уравнение \(x^2 = y\).