Как переформулированный вопрос: Каково решение уравнения 3^cosx/9^cos^2x = 4^2cos^2 x - cosx?

Давайте решим уравнение, переформулированный вопрос: "Каково решение уравнения \(\frac{3^{\cos x}}{9^{\cos^2 x}} = 4^{2\cos^2 x} - \cos x?\)"

Шаг 1: Перепишем уравнение в виде дроби с общим знаменателем.

Переписывая уравнение, мы можем заметить, что мы имеем дело с разными основаниями степеней. Если мы приведем их к общему знаменателю, то упростим уравнение. Используя свойства степеней, мы можем переписать \(9\) как \(3^2\), а \(4\) как \(2^2\):

\(\frac{3^{\cos x}}{3^{2\cos^2x}} = 2^{2\cos^2x} - \cos x\)

Таким образом, у нас будет:

\(\frac{3^{\cos x}}{3^{2\cos^2x}} = \frac{2^{2\cos^2x} - \cos x}{1}\)

Шаг 2: Упростим выражение в числителе.

Мы видим, что \(2^{2\cos^2x} - \cos x\) стоит в числителе дроби. Мы можем разложить его на две компоненты для дальнейшего упрощения:

\(\frac{3^{\cos x}}{3^{2\cos^2x}} = \frac{2^{2\cos^2x}}{1} - \frac{\cos x}{1}\)

Шаг 3: Перепишем эквивалентные степени и объединим дроби.

Так как у нас теперь общий знаменатель, мы можем объединить дроби в одну:

\(\frac{3^{\cos x}}{3^{2\cos^2x}} = \frac{2^{2\cos^2x} - \cos x}{1}\)

Шаг 4: Сделаем степени одинаковыми.

Поскольку основания у нас одинаковые, можем привести степени к одинаковому виду. Приведем \(2^{2\cos^2x}\) к виду \((2^{\cos^2x})^2\):

\(\frac{3^{\cos x}}{3^{2\cos^2x}} = \frac{(2^{\cos^2x})^2 - \cos x}{1}\)

Шаг 5: Применим свойства степеней с одинаковым основанием.

Мы можем сократить общие степени основания \(3\) и \(2\):

\(\frac{3^{\cos x}}{3^{2\cos^2x}} = \frac{(2^{\cos^2x})^2 - \cos x}{1}\)

\(\frac{2^{\cos^2x}}{3^{\cos x + 2\cos^2x}} = 1\)

Шаг 6: Перепишем уравнение в более простом виде.

Раскроем степень \(2\) и сократим дробь:

\(2^{\cos^2x} = 3^{\cos x + 2\cos^2x}\)

Шаг 7: Представим числа в виде степеней.

Разложим \(2\) и \(3\) на простые множители и приведем их к виду степеней:

\(\left(2^{\cos x}\right)^{\cos x} = \left(3^{\cos x}\right)^{1 + 2\cos x}\)

Шаг 8: Упростим выражение.

Теперь мы имеем степени с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем приравнять показатели степени:

\(\cos x = 1 + 2\cos x\)

Шаг 9: Решим получившееся уравнение.

Раскроем скобки и соберем все слагаемые с \(\cos x\) в левой части:

\(\cos x - 2\cos x = 1\)

\(-\cos x = 1\)

Шаг 10: Найдем значение \(\cos x\).

Умножим обе части уравнения на \(-1\), чтобы избавиться от знака минус:

\(\cos x = -1\)

Таким образом, решением исходного уравнения является \(\cos x = -1\).