Как описать полностью уравнение У +4у +5у=0?

Уравнение У"" + 4у"" + 5у = 0 является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Давайте внимательно разберемся, что оно означает.

Для начала, разберемся с обозначениями. В данном уравнении символ "у" - это неизвестная функция, зависящая от переменной "х". У двойной апостроф """" означает вторую производную по переменной "х".

Теперь перейдем к самому уравнению. Мы имеем уравнение второго порядка, поэтому в нем присутствуют вторые производные функции "у". Сумма вида У"" + 4у"" + 5у означает, что нужно взять вторую производную "у" по "х", при этом умножить ее на коэффициент 1, взять вторую производную "у" по "х" еще раз и умножить на коэффициент 4, и затем сложить с изначальной функцией "у", умноженной на коэффициент 5. В итоге, все это должно быть равно нулю.

Уравнение можно переписать в следующем виде:

У"" + 4у"" + 5у = 0.

Для решения этого уравнения, мы должны найти функцию "у", которая удовлетворяет данному уравнению. Одним из подходящих методов является метод характеристического уравнения.

Сначала предположим, что "у" имеет экспоненциальный вид решения: \( у = e^{rx} \), где "r" - это неизвестная константа.

Теперь возьмем первую и вторую производную от "у" и подставим их в заданное уравнение:

\( у" = re^{rx} \)
\( у"" = r^2e^{rx} \)

Подставляем эти значения в уравнение:

\( (r^2 + 4r + 5)e^{rx} = 0 \)

Так как \( e^{rx} \neq 0 \) для любых значений "х", у нас есть следующее характеристическое уравнение:

\( r^2 + 4r + 5 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Для этого можем использовать квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) с использованием формулы дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac \)

Здесь a = 1, b = 4 и c = 5:

\( D = 4^2 - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4 \)

Так как дискриминант D отрицательный, у нас имеется два комплексно-сопряженных корня:

\( r_1 = \frac{-b}{2a} + \frac{{\sqrt{-D}}}{{2a}} = -2 + \frac{{\sqrt{4}}}{{2}}i = -2 + i \)

\( r_2 = \frac{-b}{2a} - \frac{{\sqrt{-D}}}{{2a}} = -2 - \frac{{\sqrt{4}}}{{2}}i = -2 - i \)

Таким образом, общее решение уравнения будет иметь вид:

\( y(x) = C_1e^{(-2 + i)x} + C_2e^{(-2 - i)x} \)

где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные постоянные.

Таким образом, мы получили общее решение для данного уравнения. Теперь можно приступать к определению частного решения, если это потребуется по условию задачи или к выбору конкретных значений постоянных для получения решения в конкретных случаях.