Как называется четырехугольник, у которого точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них?

Четырехугольник, у которого точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них, называется параллелограммом. Давайте докажем, почему это так.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, в котором точка пересечения диагоналей P является серединой каждой из них. Обозначим середины сторон четырехугольника как E, F, G и H.

Для начала, давайте рассмотрим диагонали четырехугольника. Диагонали AC и BD пересекаются в точке P. Поскольку P является серединой диагоналей, то мы можем утверждать, что P делит каждую из диагоналей пополам:

\[PA = PC\]
\[PB = PD\]

Также мы можем заметить, что середины сторон EF и HG также делят их пополам:

\[PE = PF\]
\[PG = PH\]

Теперь давайте рассмотрим стороны параллелограмма. Поскольку PE и PF являются половинными сторонами, они равны, то есть:

\[PE = PF\]

Аналогично, PG и PH также равны:

\[PG = PH\]

Теперь мы можем рассмотреть стороны AB и CD. Поскольку P является серединой диагоналей, мы можем сделать вывод, что диагональ AC делит сторону BD пополам:

\[PB = PD\]

Аналогично, отношение BE к EA равно отношению DG к GC:

\[BE : EA = DG : GC\]

Теперь мы можем применить теорему Талеса для треугольников APE и CPB, так как мы знаем, что PE равно PF, а PB равно PD:

\[\frac{{BE}}{{EA}} = \frac{{PB}}{{PD}} = 1\]

Таким образом, BE равно EA. Аналогично, мы можем применить теорему Талеса для треугольников DPG и BPC:

\[\frac{{DG}}{{GC}} = \frac{{PB}}{{PD}} = 1\]

Таким образом, DG равно GC.

Итак, мы пришли к выводу, что в параллелограмме ABCD точка пересечения диагоналей P является серединой каждой из них.