Как найти значения р2 и р4, если р4 в 6 раз больше р2, при заданной дискретной случайной величине Х и законе

Для начала, давайте разберемся с задачей на нахождение значений ${р}_2$ и ${р}_4$. У нас есть информация о том, что ${р}_4$ в 6 раз больше, чем ${р}_2$. Это означает, что мы можем записать уравнение:

$${р}_4=6\cdot {р}_2$$

Теперь обратимся к информации о дискретной случайной величине $Х$ и ее законе распределения. У нас есть значения $х$ равные 2, 6, 7, 9 и 3, а вероятности $р$ равны 0,12, 0,25 и 0,41 соответственно.

Мы можем использовать эти данные, чтобы найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины $Х$.

Математическое ожидание (среднее) случайной величины $Х$ можно найти, умножив каждое значение $х$ на его вероятность $р$ и затем сложив все полученные произведения.

Давайте посмотрим, как это делается:

$\text{Математическое ожидание (среднее):}$
$$E(X)=2\cdot 0.12+6\cdot 0.25+7\cdot 0.41+9\cdot 0.16+3\cdot 0.06$$
$$E(X)=0.24+1.5+2.87+1.44+0.18$$
$$E(X)=6.23$$

Среднее значение $X$ равно 6.23.

Теперь перейдем к нахождению дисперсии случайной величины $Х$. Дисперсия показывает насколько случайная величина отклоняется от своего математического ожидания.

Дисперсия случайной величины $Х$ может быть найдена с использованием следующей формулы:

$$\text{Дисперсия:}$$
$$Var(X)=E((X-E(X){)}^2)$$

Разберемся, как это работает:

1. Возьмем каждое значение $х$, вычтем среднее значение $E(X)$, возведем в квадрат и умножим на соответствующую вероятность $р$.
2. Сложим все полученные произведения.

Давайте вычислим дисперсию:

$\text{Дисперсия (Var(X)):}$
$$Var(X)=(2-6.23{)}^2\cdot 0.12+(6-6.23{)}^2\cdot 0.25+(7-6.23{)}^2\cdot 0.41+(9-6.23{)}^2\cdot 0.16+(3-6.23{)}^2\cdot 0.06$$
$$Var(X)=18.8739\cdot 0.12+0.0529\cdot 0.25+0.5329\cdot 0.41+7.3929\cdot 0.16+10.6929\cdot 0.06$$
$$Var(X)=2.2655+0.013225+0.218789+1.182864+0.641574$$
$$Var(X)=4.32295$$

Дисперсия $X$ равна 4.32295.

Теперь, зная значение дисперсии, мы можем найти значения ${р}_2$ и ${р}_4$. Для этого мы можем использовать соотношение между дисперсией и вероятностями:

$$\text{Соотношение дисперсии:}$$
$$Var(X)={р}_2\cdot {х}_2^2+{р}_4\cdot {х}_4^2$$

Подставим известные значения и найдем вероятности:

$$4.32295={р}_2\cdot 2^2+{р}_4\cdot 4^2$$
$$4.32295=4{р}_2+16{р}_4$$

Теперь у нас есть система уравнений. Мы можем решить эту систему, используя информацию из предыдущего уравнения ${р}_4=6\cdot {р}_2$:

$$4.32295=4{р}_2+16(6{р}_2)$$
$$4.32295=4{р}_2+96{р}_2$$
$$4.32295=100{р}_2$$
$${р}_2=\frac{4.32295}{100}\approx 0.0432$$

Теперь мы можем найти ${р}_4$ с помощью ${р}_4=6\cdot {р}_2$:

$${р}_4=6\cdot 0.0432$$
$${р}_4\approx 0.2592$$

Таким образом, значения ${р}_2$ и ${р}_4$ равны примерно 0.0432 и 0.2592 соответственно.

Надеюсь, данное пошаговое решение было понятно и информативно! Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их.