Как найти значения р2 и р4, если р4 в 6 раз больше р2, при заданной дискретной случайной величине Х и законе

Для начала, давайте разберемся с задачей на нахождение значений \(р_2\) и \(р_4\). У нас есть информация о том, что \(р_4\) в 6 раз больше, чем \(р_2\). Это означает, что мы можем записать уравнение:

\[р_4 = 6 \cdot р_2\]

Теперь обратимся к информации о дискретной случайной величине \(Х\) и ее законе распределения. У нас есть значения \(х\) равные 2, 6, 7, 9 и 3, а вероятности \(р\) равны 0,12, 0,25 и 0,41 соответственно.

Мы можем использовать эти данные, чтобы найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины \(Х\).

Математическое ожидание (среднее) случайной величины \(Х\) можно найти, умножив каждое значение \(х\) на его вероятность \(р\) и затем сложив все полученные произведения.

Давайте посмотрим, как это делается:

\(\text{Математическое ожидание (среднее):}\)
\[E(X) = 2 \cdot 0.12 + 6 \cdot 0.25 + 7 \cdot 0.41 + 9 \cdot 0.16 + 3 \cdot 0.06\]
\[E(X) = 0.24 + 1.5 + 2.87 + 1.44 + 0.18\]
\[E(X) = 6.23\]

Среднее значение \(X\) равно 6.23.

Теперь перейдем к нахождению дисперсии случайной величины \(Х\). Дисперсия показывает насколько случайная величина отклоняется от своего математического ожидания.

Дисперсия случайной величины \(Х\) может быть найдена с использованием следующей формулы:

\[\text{Дисперсия:}\]
\[Var(X) = E((X - E(X))^2)\]

Разберемся, как это работает:

1. Возьмем каждое значение \(х\), вычтем среднее значение \(E(X)\), возведем в квадрат и умножим на соответствующую вероятность \(р\).
2. Сложим все полученные произведения.

Давайте вычислим дисперсию:

\(\text{Дисперсия (Var(X)):}\)
\[Var(X) = (2 - 6.23)^2 \cdot 0.12 + (6 - 6.23)^2 \cdot 0.25 + (7 - 6.23)^2 \cdot 0.41 + (9 - 6.23)^2 \cdot 0.16 + (3 - 6.23)^2 \cdot 0.06\]
\[Var(X) = 18.8739 \cdot 0.12 + 0.0529 \cdot 0.25 + 0.5329 \cdot 0.41 + 7.3929 \cdot 0.16 + 10.6929 \cdot 0.06\]
\[Var(X) = 2.2655 + 0.013225 + 0.218789 + 1.182864 + 0.641574\]
\[Var(X) = 4.32295\]

Дисперсия \(X\) равна 4.32295.

Теперь, зная значение дисперсии, мы можем найти значения \(р_2\) и \(р_4\). Для этого мы можем использовать соотношение между дисперсией и вероятностями:

\[\text{Соотношение дисперсии:}\]
\[Var(X) = р_2 \cdot х_2^2 + р_4 \cdot х_4^2\]

Подставим известные значения и найдем вероятности:

\[4.32295 = р_2 \cdot 2^2 + р_4 \cdot 4^2\]
\[4.32295 = 4р_2 + 16р_4\]

Теперь у нас есть система уравнений. Мы можем решить эту систему, используя информацию из предыдущего уравнения \(р_4 = 6 \cdot р_2\):

\[4.32295 = 4р_2 + 16(6р_2)\]
\[4.32295 = 4р_2 + 96р_2\]
\[4.32295 = 100р_2\]
\[р_2 = \frac{4.32295}{100} \approx 0.0432\]

Теперь мы можем найти \(р_4\) с помощью \(р_4 = 6 \cdot р_2\):

\[р_4 = 6 \cdot 0.0432\]
\[р_4 \approx 0.2592\]

Таким образом, значения \(р_2\) и \(р_4\) равны примерно 0.0432 и 0.2592 соответственно.

Надеюсь, данное пошаговое решение было понятно и информативно! Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их.