Как найти решение уравнения: C^3_n = (4/15) C^4_n?

Чтобы найти решение уравнения \(C^3_n = \frac{4}{15} C^4_n\), давайте сначала разберемся с обозначениями.

Здесь \(C^3_n\) представляет собой число комбинаций из \(n\) элементов, выбранных по 3 элемента, а \(C^4_n\) - число комбинаций из \(n\) элементов, выбранных по 4 элемента.

Мы хотим найти значения \(n\), при которых это уравнение выполняется.

Давайте решим уравнение пошагово:

1. Применим формулу для вычисления комбинаций, чтобы получить уравнение:
\(\frac{n!}{(n-3)!} = \frac{4}{15} \cdot \frac{n!}{(n-4)!}\).

2. Теперь упростим уравнение, сокращая факториалы:
\(\frac{n(n-1)(n-2)}{(n-3)(n-2)(n-1)} = \frac{4}{15} \cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)}\).

3. Сократим общие множители на обеих сторонах уравнения:
\(\frac{n}{n-4} = \frac{4}{15}.\)

4. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на \((n-4)\):
\(n = \frac{4}{15}(n-4).\)

5. Раскроем скобки:
\(n = \frac{4}{15}n - \frac{16}{15}.\)

6. Перенесем все части с \(n\) на одну сторону уравнения:
\(\frac{11}{15}n = \frac{16}{15}.\)

7. Умножим обе части уравнения на \(\frac{15}{11}\), чтобы избавиться от дроби:
\(n = \frac{16}{11}.\)

Таким образом, решением уравнения \(C^3_n = \frac{4}{15} C^4_n\) является \(n = \frac{16}{11}\).

Проверим наше решение, подставив \(n = \frac{16}{11}\) в исходное уравнение:
\(C^3_{\frac{16}{11}} = \frac{4}{15} C^4_{\frac{16}{11}}.\)

Теперь можно вычислить оба выражения и убедиться, что они равны.