Как найти решение системы уравнений √(x + 6y) = 90% x2 + 8xy + 4y2?

Для начала, давайте перепишем систему уравнений, чтобы она была более удобной для решения:

\(\sqrt{x + 6y} = 0.9x^2 + 8xy + 4y^2\) (Уравнение 1)

Первый шаг состоит в том, чтобы избавиться от корня. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\((\sqrt{x + 6y})^2 = (0.9x^2 + 8xy + 4y^2)^2\) (Уравнение 2)

Упростим выражения в уравнении:

\(x + 6y = 0.81x^4 + 14.4x^3y + 80.64x^2y^2 + 14.4xy^3 + 16xy + 16y^2\) (Уравнение 3)

Далее, приведем уравнение к квадратичному виду. Для этого перенесем все слагаемые на одну сторону:

\(0.81x^4 + 14.4x^3y + 80.64x^2y^2 + 14.4xy^3 + 15x + 10y^2 = 0\) (Уравнение 4)

Теперь у нас есть квадратное уравнение с переменными x и y. Чтобы решить это уравнение, можно использовать различные методы, такие как факторизация, метод дополнения квадрата или квадратное уравнение.

В данном случае я предлагаю использовать метод дополнения квадрата, чтобы привести левую часть уравнения к полному квадрату.

Перепишем уравнение 4 следующим образом:

\(0.81x^4 + 14.4x^3y + 15x + (80.64x^2y^2 + 14.4xy^3 + 10y^2) = 0\) (Уравнение 5)

Чтобы преобразовать квадратное выражение в полный квадрат, мы должны добавить и вычесть половину коэффициента перед x и y, возведены в квадрат.

Перепишем уравнение 5 следующим образом:

\(0.81x^4 + 14.4x^3y + 15x + (80.64x^2y^2 + 14.4xy^3 + 10y^2 + 72x^2y - 72x^2y - 72xy^2 + 72xy^2) = 0\) (Уравнение 6)

Сгруппируем элементы в круглых скобках, чтобы выделить полный квадрат:

\(0.81x^4 + 14.4x^3y + 15x + (80.64x^2y^2 + 72x^2y - 72xy^2 + 14.4xy^3 + 10y^2 + 72xy^2) = 0\) (Уравнение 7)

Распишем полные квадраты:

\(0.81x^4 + 14.4x^3y + 15x + 8.64xy(9x - 8y) + 72xy(x - y) + 10y^2 = 0\) (Уравнение 8)

Теперь можем привести квадратное выражение в скобках к полному квадрату:

\(0.81x^4 + 14.4x^3y + 15x + 8.64xy(3x - 4y)^2 + 10y^2 = 0\) (Уравнение 9)

Отсюда мы видим, что левая часть уравнения представляет собой сумму квадратов. Такое выражение равно нулю только тогда, когда каждый квадрат, включая число, равен нулю.

Теперь мы можем записать два уравнения:

\(0.81x^4 + 14.4x^3y + 15x + 8.64xy(3x - 4y)^2 + 10y^2 = 0\) (Уравнение 9)

\(3x - 4y = 0\) (Уравнение 10)

Уравнение 10 - это квадратное уравнение, которое мы можем решить для y:

\(3x - 4y = 0\)
\(4y = 3x\)
\(y = \frac{3}{4}x\) (Уравнение 11)

Теперь, зная значение y, мы можем подставить его в уравнение 9 и решить уравнение относительно x.

Исключим переменную y из уравнения 9:

\(0.81x^4 + 14.4x^3\left(\frac{3}{4}x\right) + 15x + 8.64x\left(\frac{3x}{4} - 4\left(\frac{3}{4}x\right)\right)^2 + 10\left(\frac{3}{4}x\right)^2 = 0\) (Уравнение 12)

Упростим уравнение 12:

\(0.81x^4 + 10.8x^4 + 15x + 8.64x\left(\frac{176x}{16}\right)^2 + 10\left(\frac{9x^2}{16}\right) = 0\)
\(0.81x^4 + 10.8x^4 + 15x + 8.64x(11x)^2 + 10\left(\frac{9x^2}{16}\right) = 0\)
\(11.61x^4 + 118.8x^4 + 15x + 95.04x^2 + \frac{9x^2}{16} = 0\)
\(130.41x^4 + 95.04x^2 + 15x + \frac{9x^2}{16} = 0\) (Уравнение 13)

Уравнение 13 является квадратным уравнением относительно x, которое мы можем решить используя стандартные методы для квадратных уравнений, такие как метод дискриминанта или метод дополнения квадрата.

Я надеюсь, что этот подробный и обстоятельный ответ поможет вам понять, как решить данную систему уравнений. Если у вас возникнут какие-либо вопросы или нужны дополнительные пояснения, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.