Как найти решение системы дифференциальных уравнений dx/dt = t/y и dy/dt = -t/x?

Чтобы найти решение системы дифференциальных уравнений \( \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{t}}{{y}} \) и \( \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{-t}}{{x}} \), воспользуемся методом разделения переменных. Давайте решим пошагово:

Шаг 1: Разделим оба уравнения на \( t \) для упрощения:

\[ \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{1}}{{y}} \cdot t \]
\[ \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{-1}}{{x}} \cdot t \]

Шаг 2: Разделим переменные, переместив все \( x \) и \( y \) на одну сторону и все \( t \) на другую:

\[ \frac{{dx}}{{x}} = \frac{{dt}}{{y}} \]
\[ \frac{{dy}}{{y}} = -\frac{{dt}}{{x}} \]

Шаг 3: Проинтегрируем оба уравнения:

\[ \int \frac{{dx}}{{x}} = \int \frac{{dt}}{{y}} \]
\[ \int \frac{{dy}}{{y}} = -\int \frac{{dt}}{{x}} \]

Шаг 4: Выполним интегрирование каждого из уравнений:

\[ \ln|x| = \ln|y| + C_1 \]
\[ \ln|y| = -\ln|x| + C_2 \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) - постоянные интегрирования.

Шаг 5: Прологарифмируем оба уравнения:

\[ |x| = e^{C_1} \cdot |y| \]
\[ |y| = e^{C_2} \cdot |x| \]

Шаг 6: Упростим выражения, заметив, что \( e^{C_1} \) и \( e^{C_2} \) могут быть объединены в новую константу \( C \):

\[ |x| = C \cdot |y| \]
\[ |y| = \frac{{1}}{{C}} \cdot |x| \]

Шаг 7: Разберемся с модулями, зная, что \( |x| = x \), если \( x \geq 0 \), и \( |x| = -x \), если \( x < 0 \):

\[ x = C \cdot y \]
\[ y = \frac{{1}}{{C}} \cdot x \]

Таким образом, мы получили решение системы дифференциальных уравнений: \( x = C \cdot y \) и \( y = \frac{{1}}{{C}} \cdot x \), где \( C \) - произвольная постоянная.
Это уравнение представляет собой общее решение нашей системы.