Как найти решение для следующих систем логарифмических уравнений: log2(x+y)=3 и log15x=1-log15y?

Конечно! Давайте рассмотрим систему логарифмических уравнений:

\[
\begin{align*}
\log_{2}(x+y) &= 3 \\
\log_{15}x &= 1-\log_{15}y
\end{align*}
\]

Для решения этой системы мы будем использовать некоторые свойства логарифмов. Давайте начнем с первого уравнения.

Уравнение \(\log_{2}(x+y) = 3\) означает, что \((x+y) = 2^{3}\) или \(x+y = 8\).

Перейдем ко второму уравнению \(\log_{15}x = 1-\log_{15}y\). В этом уравнении у нас есть выражение \(\log_{15}y\), которое является разностью двух логарифмов. Мы можем преобразовать его с помощью следующего свойства:

\(\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)\)

Применим это свойство к \(\log_{15}x = 1-\log_{15}y\) и получим:

\(\log_{15}x = \log_{15}\left(\frac{1}{y}\right)\)

Теперь мы можем сравнить основания логарифмов и получить:

\(x = \frac{1}{y}\)

Теперь, когда у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
x + y &= 8 \\
x &= \frac{1}{y}
\end{align*}
\]

Мы можем решить их методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения мы можем выразить переменную \(x\) в терминах \(y\).

\(x = \frac{1}{y}\)

Теперь мы можем подставить это выражение в первое уравнение:

\(\frac{1}{y} + y = 8\)

Далее, чтобы убрать дробь, мы можем умножить обе части уравнения на \(y\):

\(1 + y^2 = 8y\)

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:

\(y^2 - 8y + 1 = 0\)

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или метода полного квадрата. В этом конкретном случае, формула дискриминанта будет более удобной. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\(D = b^2 - 4ac\)

Где \(a = 1\), \(b = -8\) и \(c = 1\). Вычислим дискриминант:

\(D = (-8)^2 - 4(1)(1) = 64 - 4 = 60\)

Так как дискриминант \(D\) положительный, у нас есть два различных рациональных корня. Воспользуемся формулой корней:

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Подставляем значения \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 1\) и \(D = 60\) в формулу:

\(y_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{60}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}\)

Таким образом, у нас есть два различных значения для \(y\):

\(y_1 = 4 + \sqrt{15}\) и \(y_2 = 4 - \sqrt{15}\)

Теперь, когда у нас есть значения \(y\), мы можем использовать второе уравнение, чтобы определить соответствующие значения \(x\).

Подставим \(y_1 = 4 + \sqrt{15}\) в уравнение \(x = \frac{1}{y}\):

\(x_1 = \frac{1}{4 + \sqrt{15}}\)

Подставим \(y_2 = 4 - \sqrt{15}\) в уравнение \(x = \frac{1}{y}\):

\(x_2 = \frac{1}{4 - \sqrt{15}}\)

Таким образом, решением данной системы логарифмических уравнений являются следующие значения:

\(x_1 = \frac{1}{4 + \sqrt{15}}\) и \(y_1 = 4 + \sqrt{15}\)

\(x_2 = \frac{1}{4 - \sqrt{15}}\) и \(y_2 = 4 - \sqrt{15}\)

Я надеюсь, что эти объяснения и пошаговое решение помогли вам лучше понять, как найти решение для данной системы логарифмических уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!