Как найти решение данного тригонометрического уравнения: sin2x = 5 - 8cos^2x?

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение по шагам.

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду.
Используя тригонометрическую формулу \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\), мы можем заменить \(\sin^2x\) в уравнении:

\(1 - \cos^2x = 5 - 8\cos^2x\).

Шаг 2: Раскрытие скобок и сокращение подобных слагаемых.
Раскроем скобки на левой стороне уравнения и получим:

\(1 - \cos^2x = 5 - 8\cos^2x\).

Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие \(\cos^2x\), на одну сторону уравнения, а все остальные слагаемые - на другую сторону:

\(1 - 5 = -7\cos^2x + \cos^2x\).

Шаг 3: Упрощение выражения и приведение подобных слагаемых.
Сложим числа на левой стороне и объединим тригонометрические слагаемые на правой стороне:

\(-4 = -7\cos^2x + \cos^2x\).

Теперь, используя закон коммутативности сложения и вынося \(\cos^2x\) за скобки, получим:

\(-4 = (-7 + 1)\cos^2x\).

Упростим выражение в скобках:

\(-4 = -6\cos^2x\).

Шаг 4: Разделение на коэффициент.
Разделим обе части уравнения на -6, чтобы найти значение \(\cos^2x\):

\(\frac{-4}{-6} = \cos^2x\).

Это можно упростить:

\(\frac{2}{3} = \cos^2x\).

Шаг 5: Извлечение квадратного корня и решение уравнения.
Для того чтобы найти \(\cos x\), необходимо извлечь квадратный корень с обеих сторон уравнения:

\(\cos x = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Теперь мы нашли значение \(\cos x\).

Итак, решение данного тригонометрического уравнения равно:

\(\cos x = \sqrt{\frac{2}{3}}\).