Как найти производные функций, используя правила дифференцирования?

Конечно! Для начала давайте рассмотрим основные правила дифференцирования, которые нам понадобятся для нахождения производных функций. Затем я покажу вам пошаговые примеры и обосную каждое действие.

1. Правило константы: Производная константы равна нулю. То есть, если у нас есть функция f(x) = c, где "c" - произвольная константа, то ее производная будет f"(x) = 0.

2. Правило степенной функции: Чтобы найти производную степенной функции, нужно умножить ее показатель степени на коэффициент и уменьшить показатель степени на единицу. Другими словами, если у нас есть функция f(x) = x^n, где "n" - любое число, то ее производная будет f"(x) = nx^(n-1).

3. Правило суммы и разности: Для функции, которая является суммой или разностью двух функций f(x) = g(x) ± h(x), производная также является суммой или разностью производных этих функций. То есть, f"(x) = g"(x) ± h"(x).

4. Правило произведения: Если у нас есть функция, являющаяся произведением двух функций f(x) = g(x) * h(x), то для нахождения ее производной используется правило произведения Лейбница. По этому правилу производная будет равна f"(x) = g"(x) * h(x) + g(x) * h"(x).

5. Правило частного: Для функции, являющейся частным двух функций f(x) = g(x) / h(x), производная также находится с помощью правила Лейбница. Производная будет f"(x) = (g"(x) * h(x) - g(x) * h"(x)) / (h(x))^2.

Теперь, когда мы знакомы с основными правилами, давайте рассмотрим примеры пошагового нахождения производной функции:

Пример 1:
Пусть у нас есть функция f(x) = 3x^2 + 2x + 1. Чтобы найти ее производную, мы применим правила дифференцирования.

Шаг 1: Применяем правило степенной функции к каждому слагаемому:
f"(x) = (2 * 3) x^(2-1) + (1 * 2) x^(1-1) + 0
= 6x + 2

Таким образом, производная функции f(x) равна f"(x) = 6x + 2.

Пример 2:
Пусть у нас есть функция f(x) = (x^2 + 1) / x. Давайте найдем ее производную.

Шаг 1: Применяем правило произведения для числителя и знаменателя:
f"(x) = (2x * x - (x^2 + 1) * 1) / x^2
= (2x^2 - x^2 - 1) / x^2
= (x^2 - 1) / x^2

Таким образом, производная функции f(x) равна f"(x) = (x^2 - 1) / x^2.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогли вам лучше понять, как найти производную функции, используя правила дифференцирования. Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с другими математическими задачами, я всегда готов помочь!