Как найти производную в данной точке?

Конечно! Я помогу вам найти производную в данной точке. Для этого нам понадобится использовать определение производной и правило дифференцирования функций. Давайте разберемся совместно!

Пусть у нас есть функция \(f(x)\), и мы хотим найти ее производную в точке \(x_0\). Для этого мы можем воспользоваться следующим определением:

\[
f"(x_0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0)}}{h}
\]

Суть этого определения заключается в том, что мы ищем предел отношения изменения функции к изменению аргумента при стремлении изменения аргумента к нулю.

Теперь давайте приступим к конкретному примеру. Предположим, у нас есть функция \(f(x) = x^2 + 3x\), и мы хотим найти ее производную в точке \(x_0 = 2\).

Для начала, посчитаем значение функции в данной точке \(x_0 = 2\):

\[f(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10\]

Теперь мы готовы применить наше определение производной. Для этого посчитаем предел отношения изменения функции к изменению аргумента при стремлении аргумента к нулю:

\[
f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h}
\]

Подставим значение функции в точке \(2\) и раскроем скобки:

\[
f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(2 + h)^2 + 3 \cdot (2 + h) - 10}}{h}
\]

Упростим выражение:

\[
f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{4 + 4h + h^2 + 6 + 3h - 10}}{h}
\]

Сгруппируем слагаемые:

\[
f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{h^2 + 7h}}{h}
\]

Теперь мы можем сократить на \(h\), так как \(h\) не может быть равным нулю:

\[
f"(2) = \lim_{{h \to 0}} (h + 7) = 0 + 7 = 7
\]

Итак, мы получили, что производная функции \(f(x) = x^2 + 3x\) в точке \(x_0 = 2\) равна \(7\).

Таким образом, мы успешно нашли производную в данной точке. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!