Как найти производную функции f(x)=x^2-6x+4, используя определение?

Конечно! Давайте найдем производную функции \(f(x) = x^2 - 6x + 4\) используя определение производной.

Определение производной функции гласит, что производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Таким образом, для нахождения производной функции \(f(x)\) по определению, необходимо вычислить предел отношения приращения функции к приращению аргумента при \(h\) стремящемся к нулю.

Исходя из данной задачи, функция \(f(x)\) задана формулой \(x^2 - 6x + 4\), поэтому мы будем использовать эту формулу в наших вычислениях.

Шаг 1: Найти приращение функции \(\Delta f\) и приращение аргумента \(\Delta x\).

Приращение функции \(\Delta f\) равно разности значений функции в точках \(x_0 + h\) и \(x_0\):
\[\Delta f = f(x_0 + h) - f(x_0)\]

Приращение аргумента \(\Delta x\) равно разности значений аргумента в точках \(x_0 + h\) и \(x_0\):
\[\Delta x = (x_0 + h) - x_0 = h\]

Шаг 2: Найти отношение \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\)

\(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) равно отношению приращения функции к приращению аргумента:
\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]

Шаг 3: Найти предел этого отношения при \(h \to 0\).

Теперь необходимо вычислить предел отношения \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) при \(h \to 0\). Это можно сделать путем подстановки значений функции \(f(x)\) в формулу и последующим упрощением:

\[\lim_{{h \to 0}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]

Для нашей функции \(f(x) = x^2 - 6x + 4\) подставим значения в формулу:

\[\lim_{{h \to 0}} \frac{(x_0 + h)^2 - 6(x_0 + h) + 4 - (x_0^2 - 6x_0 + 4)}{h}\]

Теперь разложим и упростим данный выражение:

\[\lim_{{h \to 0}} \frac{x_0^2 + 2x_0h + h^2 - 6x_0 - 6h + 4 - x_0^2 + 6x_0 - 4}{h}\]

\[\lim_{{h \to 0}} \frac{2x_0h + h^2 - 6h}{h}\]

Шаг 4: Упростить выражение и выключить \(h\).

\[\lim_{{h \to 0}} (2x_0 + h - 6)\]

Шаг 5: Вычислить предел при \(h \to 0\).

Теперь нужно найти значение предела данного выражения при \(h \to 0\). В данном случае, перед нами линейная функция \(2x_0 + h - 6\), и при стремлении \(h\) к нулю, предел равен значению функции в данной точке:

\[\lim_{{h \to 0}} (2x_0 + h - 6) = 2x_0 - 6\]

Таким образом, производная функции \(f(x) = x^2 - 6x + 4\) по определению равна \(2x - 6\).

Я надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять процесс нахождения производной функции по определению. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!