Как найти проекцию вектора a на ось b+c (векторы), если даны векторы a=(1,-3,4), b=(3,-4,2) и c=(-1,1,4)?

Чтобы найти проекцию вектора a на ось b+c, мы можем воспользоваться формулой проекции вектора на другой вектор:

\[Proj_{b+c} a = \frac{{a \cdot (b+c)}}{{\| b+c \|^2}} \cdot (b+c)\]

Давайте применим эту формулу к нашей задаче.

1. Вычислим величину скалярного произведения a на b+c:

\[a \cdot (b+c) = (1,-3,4) \cdot ((3,-4,2) + (-1,1,4))\]

Для удобства вычислений сложим векторы b и c:

\[a \cdot (b+c) = (1,-3,4) \cdot (2,-3,6)\]

Теперь рассчитаем значение этого скалярного произведения:

\[a \cdot (b+c) = 2 - 9 + 24 = 17\]

2. Найдем величину вектора b+c:

\[\| b+c \| = \| (3,-4,2) + (-1,1,4) \|\]

Произведем сложение векторов b и c:

\[\| b+c \| = \| (2,-3,6) \|\]

Теперь вычислим длину этого вектора:

\[\| b+c \| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\]

3. Применим формулу проекции:

\[Proj_{b+c} a = \frac{{a \cdot (b+c)}}{{\| b+c \|^2}} \cdot (b+c)\]

Подставляем известные значения:

\[Proj_{b+c} a = \frac{{17}}{{7^2}} \cdot (2,-3,6)\]

Сократим числитель дроби:

\[Proj_{b+c} a = \frac{{17}}{{49}} \cdot (2,-3,6)\]

Умножим направляющий вектор (2,-3,6) на эту дробь:

\[Proj_{b+c} a = (\frac{{34}}{{49}}, -\frac{{51}}{{49}}, \frac{{102}}{{49}})\]

Таким образом, проекция вектора a на ось b+c равна (\(\frac{{34}}{{49}}, -\frac{{51}}{{49}}, \frac{{102}}{{49}}\)).