Как найти площадь области, определенной следующими линиями: у^2=9х, х=16, х=25

Данная задача требует нахождения площади области, ограниченной графиком кривой у^2=9х, а также вертикальными линиями х=16 и х=25.

Для начала давайте разберемся с графиком у^2=9х. Это уравнение представляет параболу, открытую вправо, и симметричную относительно оси у. Заметим, что при у=0 уравнение становится 0=9х, откуда х=0. Таким образом, асимптота x=0 проходит через начало координат (0,0).

Далее, возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Получим у^4 = 81х^2. Если теперь проделать преобразование канонической формы, то уравнение можно записать в виде (у-0)^2 = 9(х-0), или просто у^2 = 9х. Таким образом, мы получаем результат, что это действительно график параболы у^2=9х.


Теперь рассмотрим точки пересечения этой параболы с вертикальными линиями х=16 и х=25. Заменим х на 16 и 25 в уравнении, чтобы найти соответствующие у-координаты точек пересечения.

Уравнение параболы: у^2 = 9х.

Для х=16:
у^2 = 9*16,
у^2 = 144,
у = ±12.

Таким образом, точки пересечения с вертикальной линией х=16 - это (16, 12) и (16, -12).

Аналогично для х=25:
у^2 = 9*25,
у^2 = 225,
у = ±15.

Точки пересечения с вертикальной линией х=25 - это (25, 15) и (25, -15).

Теперь мы можем нарисовать график параболы у^2=9х и отметить на нем точки пересечения с вертикальными линиями х=16 и х=25.

   |

 15|       (25, 15)

   |         |

   |         |      * (16, 12)

 12|       *

   |    *

  9|

   | *

   |

   |_______________________

    0   16  25

Таким образом, область, ограниченная графиком у^2=9х, х=16 и х=25, представляет собой фигуру, заключенную между графиком параболы и указанными вертикальными линиями. Для нахождения площади этой области, вычислим площади отдельных фигур и сложим их вместе.

В данном случае, фигура можно разбить на две: треугольник и прямоугольник. Рассчитаем площадь каждой фигуры отдельно и сложим их.

1. Треугольник:
Найдем его основание, которое является разностью координат х-значений точек пересечения: 25 - 16 = 9.
Высоту можно получить из у^2=9х:
(у-0)^2 = 9(х-0),
у = ±√(9х),
у = ±3√х.

Очевидно, что верхняя граница треугольника - парабола у=3√х, а нижняя граница - парабола у=-3√х. Значит, высота треугольника равна разности этих функций:
Верхняя граница: у = 3√х,
Нижняя граница: у = -3√х.

Теперь рассчитаем площадь треугольника:
Площадь = (основание * высота) / 2 = (9 * (3√х - (-3√х))) / 2 = (9 * 6√х) / 2 = 27√х.

2. Прямоугольник:
Прямоугольник имеет длину (х-значение пункта пересечения) и ширину (разность у-координат пунктов пересечения): 25-16=9, (12-(-12))=24

Площадь прямоугольника = длина * ширина = 9 * 24 = 216.

Теперь сложим площадь треугольника и прямоугольника:
Общая площадь = площадь треугольника + площадь прямоугольника = 27√х + 216.

Таким образом, площадь области, ограниченной графиком у^2=9х, х=16 и х=25, равна 27√х + 216.

Окончательный ответ: площадь этой области равна 27√х + 216.