Как найти первообразную функции, график которой проходит через точку с координатами (-1, a), если дана функция

Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}\), график которой проходит через точку \((-1, a)\), воспользуемся формулой интегрирования и условием задачи.

Шаг 1: Найдем первообразную функции \(f(x)\). Для этого возьмем интеграл от \(f(x)\) по переменной \(x\):
\[
\int (4x + \frac{1}{x^2}) dx
\]

Для удобства интегрирования, воспользуемся свойствами интегралов и разделим на два интеграла:
\[
\int 4x dx + \int \frac{1}{x^2} dx
\]

Вычислим каждый интеграл отдельно:

Интеграл \(\int 4x dx\) мы можем рассчитать с помощью формулы интегрирования для мономов, которая гласит, что интеграл от \(x^n\) равен \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\). В данном случае \(n = 1\), поэтому получаем:
\[
\int 4x dx = 4\cdot\frac{1}{2}x^2 + C_1 = 2x^2 + C_1
\]

Интеграл \(\int \frac{1}{x^2} dx\) мы можем рассчитать с помощью формулы интегрирования для отрицательных степеней \(x\). В данном случае степень равна -2, поэтому получаем:
\[
\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C_2
\]

Где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.

Шаг 2: Объединим полученные интегралы и добавим постоянную \(C_3\):
\[
F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + C_3
\]

Теперь у нас есть первообразная функции \(f(x)\).

Шаг 3: Найдем значение \(C_3\) по условию задачи. В условии задачи указано, что график функции проходит через точку \((-1, a)\). Подставим \(-1\) в выражение для \(F(x)\):
\[
a = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C_3
\]

Упростим это уравнение и найдем значение \(C_3\):
\[
a = 2 + 1 + C_3
\]
\[
C_3 = a - 3
\]

Шаг 4: Итак, окончательный ответ:
\[
F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + (a - 3)
\]

Таким образом, первообразная функции \(f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}\), график которой проходит через точку \((-1, a)\), имеет вид \(F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + (a - 3)\).