Как найти первообразную функции f(x) = 7x^2 + 4/x^2, проходящую через точку M(0,25;17)?

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей. Мы ищем первообразную функции \( f(x) = 7x^2 + \frac{4}{x^2} \), проходящую через точку \( M(0, 25; 17) \).

Для того чтобы найти первообразную функции, нам нужно воспользоваться интегральным исчислением. В данном случае, мы имеем функцию, представленную суммой двух слагаемых: \( 7x^2 \) и \( \frac{4}{x^2} \). Давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.

Для первого слагаемого \( 7x^2 \), мы знаем, что первообразной функции будет функция \( F_1(x) \), такая что \( F"_1(x) = 7x^2 \). Чтобы найти \( F_1(x) \), возьмем интеграл от \( 7x^2 \) по переменной \( x \):

\[
\int 7x^2 \, dx = \frac{7}{3}x^3 + C_1
\]

Здесь \( C_1 \) представляет константу интегрирования.

Теперь рассмотрим второе слагаемое \( \frac{4}{x^2} \). Мы можем записать его как \( 4x^{-2} \). Для этого слагаемого первообразной функцией будет функция \( F_2(x) \), такая что \( F"_2(x) = 4x^{-2} \). Возьмем интеграл от \( 4x^{-2} \) по переменной \( x \):

\[
\int 4x^{-2} \, dx = -4x^{-1} + C_2
\]

Здесь \( C_2 \) представляет константу интегрирования.

Теперь объединим оба слагаемых, чтобы найти первообразную функцию \( f(x) \). Итак, первообразной функцией \( F(x) \) будет:

\[
F(x) = \frac{7}{3}x^3 - 4x^{-1} + C
\]

Здесь \( C \) представляет константу интегрирования.

Теперь нам нужно найти значение \( C \), используя информацию о точке \( M(0, 25; 17) \). Подставим значения координат точки \( M \) в уравнение первообразной функции \( F(x) \):

\[
17 = \frac{7}{3}\cdot 0^3 - 4\cdot 0^{-1} + C
\]

Учитывая, что \( 0^3 = 0 \) и \( 0^{-1} \) неопределено, можем просто исключить первые два слагаемых:

\[
17 = C
\]

Таким образом, получаем окончательное уравнение первообразной функции, проходящей через точку \( M(0, 25; 17) \):

\[
F(x) = \frac{7}{3}x^3 - 4x^{-1} + 17
\]

Это и есть искомая первообразная функции \( f(x) = 7x^2 + \frac{4}{x^2} \).