Как найти первообразную для данных функций: а) f(x) = √7 б) f(x) = x^11 в) f(x) = x^8+3x^7-5x+2 г) f(x) = (4x-5)^2

Конечно! Я с удовольствием помогу решить задачу по поиску первообразной для данных функций.

а) Для функции \(f(x) = \sqrt{7}\) найдем первообразную.

Мы знаем, что первообразная - это функция, производная которой равна данной функции. В данном случае, функция \(f(x) = \sqrt{7}\) является постоянной функцией, так как значение \(\sqrt{7}\) не зависит от переменной \(x\).

Таким образом, первообразная для функции \(f(x) = \sqrt{7}\) будет \(F(x) = \sqrt{7}x + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

б) Для функции \(f(x) = x^{11}\) найдем первообразную.

Чтобы найти первообразную, возьмем индекс степени, увеличим его на 1 и поделим функцию на новый индекс степени. В данном случае, у нас есть функция \(f(x) = x^{11}\), поэтому индекс степени будет 11. Увеличим 11 на 1, получим 12, и поделим функцию на 12: \(f(x) = \frac{{x^{12}}}{{12}}\).

Таким образом, первообразной функции \(f(x) = x^{11}\) будет \(F(x) = \frac{{x^{12}}}{{12}} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

в) Для функции \(f(x) = x^8 + 3x^7 - 5x + 2\) найдем первообразную.

В данном случае, у нас дан полином. Чтобы найти первообразную, воспользуемся свойствами суммы и разности. Интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов этих функций.

Разобьем наш полином на отдельные члены: \(f(x) = x^8 + 3x^7 - 5x + 2\). Найдем первообразные для каждого члена:

\(\int x^8 \, dx = \frac{{x^9}}{9} + C_1\)

\(\int 3x^7 \, dx = \frac{{3x^8}}{8} + C_2\)

\(\int -5x \, dx = -\frac{{5x^2}}{2} + C_3\)

\(\int 2 \, dx = 2x + C_4\)

Где \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) и \(C_4\) - произвольные постоянные.

Теперь объединим эти первообразные:

\(F(x) = \frac{{x^9}}{9} + \frac{{3x^8}}{8} - \frac{{5x^2}}{2} + 2x + C\)

где \(C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4\) - произвольная постоянная.

г) Для функции \(f(x) = (4x - 5)^2\) найдем первообразную.

В таком случае, функция \((4x - 5)^2\) представляет собой квадрат разности \(4x\) и 5. Мы можем воспользоваться формулой разности квадратов для упрощения этой функции.

\((4x - 5)^2 = (2x - \sqrt{5})^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4x^2 - 4x \sqrt{5} + 5\)

Таким образом, первообразной функции \(f(x) = (4x - 5)^2\) является \(F(x) = \frac{{4x^3}}{3} - 2 \sqrt{5}x^2 + 5x + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти первообразную для данных функций. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.