1. Какой может быть наивысший периметр треугольника с целыми сторонами, если периметр прямоугольного треугольника

Задача 1:
Давайте решим задачу о наивысшем периметре треугольника с целыми сторонами, если периметр прямоугольного треугольника относится к его площади как 2:3.

Предположим, что у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c. Площадь такого треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{ab}{2}\]
Периметр треугольника равен сумме его сторон:
\[P = a + b + c\]

Дано, что отношение периметра к площади равно 2/3. То есть:
\[\frac{P}{S} = \frac{2}{3}\]
Заменим значения P и S соответствующими формулами:
\[\frac{a + b + c}{\frac{ab}{2}} = \frac{2}{3}\]
Упростим выражение и избавимся от дроби:
\[\frac{2(a + b + c)}{ab} = \frac{2}{3}\]
Теперь умножим обе части уравнения на 3ab, чтобы избавиться от дроби:
\[6(a + b + c) = 2ab\]
Раскроем скобки:
\[6a + 6b + 6c = 2ab\]
Выразим c:
\[6c = 2ab - 6a - 6b\]
\[c = \frac{2ab - 6a - 6b}{6}\]

Заметим, что для треугольника с целыми сторонами, сторона c также должна быть целым числом. Для этого, выражение \((2ab - 6a - 6b)\) должно быть делиться на 6 без остатка. Также, чтобы получить наибольший периметр, стороны a, b, и c должны быть как можно больше.

Давайте рассмотрим все возможные значения для a и b. Сначала предположим, что a = 1, тогда b может быть равен 4, 5, 6, 7, ..., и так далее. Если a = 2, тогда b может быть равен 7, 8, 9, 10, ..., и так далее.

Подставим эти значения a и b в выражение для c и проверим, делится ли \((2ab - 6a - 6b)\) на 6 без остатка. Для каждой пары a и b, найдем соответствующее значение c. Если полученное значение c является целым числом, то найден треугольник с целыми сторонами и периметром, удовлетворяющим условию задачи.

Продолжайте этот процесс, увеличивая значения a и b, пока не найдете наибольшее значение периметра. Таким образом, вы сможете найти максимально возможный периметр треугольника с целыми сторонами.

Задача 2:
Теперь решим задачу о нахождении объема пирамиды, основанием которой является треугольник со сторонами 5, 6 и 7. При этом все боковые грани образуют с основанием угол в 60 градусов.

Объем пирамиды можно найти по формуле:
\[V = \frac{1}{3}Sh\]
где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания треугольника со сторонами 5, 6 и 7. Для этого можно воспользоваться формулой Герона:
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
где p - полупериметр треугольника, а a, b и c - его стороны.

Вычислим полупериметр:
\[p = \frac{a + b + c}{2}\]
\[p = \frac{5 + 6 + 7}{2}\]
\[p = 9\]

Теперь используем формулу Герона для нахождения площади основания:
\[S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}\]
\[S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}\]
\[S = \sqrt{216}\]
\[S = 6\sqrt{6}\]

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Она является высотой боковой грани, образующей угол 60 градусов с основанием треугольника. Для этого можно воспользоваться формулой:
\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\]
где a - длина стороны треугольника.

Подставляем значение стороны a и вычисляем высоту:
\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5\]
\[h = \frac{5\sqrt{3}}{2}\]

Теперь, зная площадь основания и высоту пирамиды, можем найти ее объем:
\[V = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{6} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}\]
\[V = \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{6}\]
\[V = 5\sqrt{3}\sqrt{6}\]
\[V = 5\sqrt{18}\]
\[V = 5 \cdot 3\sqrt{2}\]
\[V = 15\sqrt{2}\]

Таким образом, объем пирамиды равен \(15\sqrt{2}\) единицам объема.