Как найти корни уравнения x^2-12+36/x^2+2(x/2-3/x)=0?

Конечно, я помогу вам найти корни данного уравнения. Для начала, давайте приведем выражение к общему знаменателю, чтобы упростить его.

У нас есть уравнение:

\[x^2 - \frac{12}{x^2} + 2\left(\frac{x}{2} - \frac{3}{x}\right) = 0\]

Первым шагом я хочу умножить каждый элемент уравнения на \(x^2\) для избавления от дроби в знаменателе. Получим:

\[x^4 - 12 + 2x^3 - 6x = 0\]

Теперь сложим все элементы и упорядочим их по убыванию степеней \(x\):

\[x^4 + 2x^3 - 6x - 12 = 0\]

Следующий шаг - факторизация уравнения.

Мы можем заметить, что при \(x = -2\) уравнение равно нулю:

\[(-2)^4 + 2(-2)^3 -6(-2) -12 = 16 - 16 + 12 - 12 = 0\]

Это означает, что \(x + 2\) - это один из множителей уравнения.

Разделим уравнение на \(x + 2\) используя синтетическое деление:

\(x^4 + 2x^3 - 6x - 12 : (x + 2)\)

\[
\begin{array}{|c c c c c|}
-2 & 1 & 2 & -6 & -12 \\
& -2 & 0 & -4 & 20 \\
\hline
-2 & -1 & 2 & -10 & 8 \\
\end{array}
\]

Результат деления:

\[x^3 - x^2 + 2x - 10 + \frac{8}{x+2} = 0\]

Остаток от деления \(\frac{8}{x+2}\) показывает нам, что наше уравнение не делится полностью на \(x+2\).

Полученное уравнение \(x^3 - x^2 + 2x - 10 = 0\) является кубическим уравнением. Определить его корни можно методами анализа, использовать графические методы или приближенные численные методы, однако я остановлюсь на методе Бисекции - одном из численных методов нахождения корней.

Метод Бисекции предполагает, что у нас есть начальный интервал, которому известны значения функции на его концах с разными знаками. Давайте найдем такой интервал и применим метод Бисекции к нашему уравнению.

Разобьем интервал от -10 до 10 на равные части и найдем значения уравнения в пределах каждого интервала:

При \(x = -10\), уравнение равно:

\((-10)^3 - (-10)^2 + 2(-10) - 10 = -90 + 100 - 20 - 10 = -20\)

При \(x = 0\), уравнение равно:

\(0^3 - 0^2 + 2(0) - 10 = -10\)

При \(x = 10\), уравнение равно:

\(10^3 - 10^2 + 2(10) - 10 = 1000 - 100 + 20 - 10 = 910\)

Итак, мы видим, что значения функции на концах интервала имеют разные знаки (-20 и 910). Таким образом, по методу Бисекции, корни уравнения должны находиться на этом интервале.

Продолжим делить интервал пополам до тех пор, пока не достигнем требуемой точности. Я совершу несколько итераций.