Как найти координаты точки пересечения биссектрисы угла в со стороной ас в данном треугольнике с координатами вершин

Чтобы найти координаты точки пересечения биссектрисы угла со стороной ас в данном треугольнике, можно применить следующий метод:

1. Вычислим длины сторон треугольника. Для этого воспользуемся формулой длины отрезка между двумя точками \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\).

Длина отрезка ас: \(\sqrt{(-1-7)^2 + (-1-9)^2 + (-1-1)^2}\) \(\sqrt{64+100+4}\) \(\sqrt{168}\).

Длина отрезка вс: \(\sqrt{(-5-7)^2 + (-1-9)^2 + (2-1)^2}\) \(\sqrt{144+100+1}\) \(\sqrt{245}\).

Длина отрезка сс: \(\sqrt{(-5--1)^2 + (-1--1)^2 + (2-1)^2}\) \(\sqrt{16+0+1}\) \(\sqrt{17}\).


2. Вычислим полупериметр треугольника \(p\) по формуле \(p = \frac{a+б+s}{2}\), где \(a\), \(б\) и \(s\) - длины сторон треугольника.

\(p = \frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2}\).

3. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона \(S = \sqrt{p(p-a)(p-б)(p-s)}\).

\(S = \sqrt{\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{168}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{245}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{17}\right)}\).

4. Вычислим высоту треугольника, проведенную к стороне ас, используя формулу S = \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где S - площадь треугольника, a - основание высоты, h - высота, проведенная к этому основанию.

Подставим известные значения в формулу: \(\sqrt{\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{168}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{245}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{17}\right)} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{168} \cdot h\).

Найдем высоту \(h\): \(h = \frac{2 \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{168}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{245}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{168} + \sqrt{245} + \sqrt{17}}{2} - \sqrt{17}\right)}}{\sqrt{168}}\).

5. Далее, найдем уравнение прямой в пространстве, являющейся биссектрисой угла, образованного сторонами ас и также пролегающей через точку а.

Для этого воспользуемся формулой для уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки \(A(x_1, y_1, z_1)\) и \(B(x_2, y_2, z_2)\): \(\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}\).

Так как точка а является одной из вершин треугольника асв, то \((x_1, y_1, z_1) = (-1, -1, -1)\).

Для нахождения второй точки, через которую проходит биссектриса угла, найдем середину стороны сс: \(\left(\frac{-1+7}{2}, \frac{-1+9}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\).

Итак, \((x_2, y_2, z_2) = (3, 4, 0)\).

Получаем уравнение биссектрисы угла: \(\frac{x+1}{3+1} = \frac{y+1}{4+1} = \frac{z+1}{0+1}\).

6. Найдем точку пересечения биссектрисы с стороной ас.

Для этого решим систему уравнений: \(\frac{x+1}{3+1} = \frac{y+1}{4+1} = \frac{z+1}{0+1}\) и найдем значения \(x\), \(y\) и \(z\).

Итак, решая систему уравнений, находим: \(x = -3\), \(y = 0\), \(z = 3\).

Таким образом, координаты точки пересечения биссектрисы угла в со стороной ас в данном треугольнике равны (-3, 0, 3).