Как можно выразить выражение в виде суммы тригонометрических функций: 4cos(a/3)cos(a/4)cos^3a*sin^32a + 4sin^2a?

Давайте разложим выражение на сумму тригонометрических функций.

Имеем:

\[4\cos\left(\frac{a}{3}\right)\cos\left(\frac{a}{4}\right)\cos^3a\sin^{32}a + 4\sin^2a\]

Сначала, заметим, что \(\cos^3a = (\cos a)^3\) и \(\sin^{32}a = (\sin^2a)^{16}\). Теперь разложим выражение на несколько слагаемых:

\[4\cos\left(\frac{a}{3}\right)\cos\left(\frac{a}{4}\right)(\cos a)^3(\sin^2a)^{16} + 4\sin^2a\]

Также, воспользуемся тригонометрическими тождествами для произведения синусов и косинусов:

\[\cos\left(\frac{a}{3}\right)\cos\left(\frac{a}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{a}{3} + \frac{a}{4}\right) + \cos\left(\frac{a}{3} - \frac{a}{4}\right)\right)\]

Теперь подставим это в наше выражение:

\[4\left(\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{a}{3} + \frac{a}{4}\right) + \cos\left(\frac{a}{3} - \frac{a}{4}\right)\right)\right)(\cos a)^3(\sin^2a)^{16} + 4\sin^2a\]

Упростим это выражение. Раскроем скобки внутри синуса и косинуса:

\[2\left(\cos\left(\frac{7a}{12}\right) + \cos\left(\frac{a}{12}\right)\right)(\cos a)^3(\sin^2a)^{16} + 4\sin^2a\]

Теперь заметим, что \((\sin^2a)^{16} = \sin^{32}a\), поэтому можно записать:

\[2\left(\cos\left(\frac{7a}{12}\right) + \cos\left(\frac{a}{12}\right)\right)(\cos a)^3(\sin^{32}a) + 4\sin^2a\]

Таким образом, данное выражение можно выразить в виде суммы трёх тригонометрических функций:

\[2\cos\left(\frac{7a}{12}\right)(\cos a)^3(\sin^{32}a) + 2\cos\left(\frac{a}{12}\right)(\cos a)^3(\sin^{32}a) + 4\sin^2a\]