Как можно выразить вектор OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→− в трапеции ABCD, где AD = 8BC? Определите выражение

Для начала, обратимся к свойствам векторов в трапеции ABCD. Из условия задачи мы знаем, что AD равна 8BC, то есть отношение длины этих отрезков составляет 8:1.

Заметим, что точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Это означает, что векторы, направленные от точки A к точке D и от точки C к точке B, имеют противоположные направления и их сумма равна нулевому вектору. Таким образом, мы можем записать:

\(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}\)

Теперь, выразим вектор AD через векторы OA, OB и OC. Для этого воспользуемся тем, что \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}\). Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, мы получаем:

\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}\)

Также, по условию задачи, мы можем выразить векторы AB и CD через векторы OA, OB и OC. Из определения трапеции, мы знаем, что \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\).

Теперь, выразим векторы BC, AB и CD через векторы OA, OB и OC:

\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\)

\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\)

Подставим это в предыдущее уравнение:

\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} + (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{0}\)

Раскроем скобки и упростим:

\(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\)

Мы хотим найти выражение для вектора OD через векторы OA, OB и OC. Перепишем предыдущее уравнение, чтобы избавиться от вектора AB:

\(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{AB}\)

Таким образом, выражение для вектора OD через векторы OA, OB и OC будет:

\(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\)

Или простым образом:

\(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}\)

Это заключительное выражение, которое позволяет нам выразить вектор OD через векторы OA, OB и OC в заданной трапеции ABCD.