Как можно выразить вектор OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→− в трапеции ABCD, где AD = 3BC?

Чтобы выразить вектор OD, нам понадобится информация о векторах OA, OB и OC, а также о соотношении длин сторон трапеции ABCD.

Сначала нам нужно понять, как связаны векторы OA, OB и OC с вектором OD. Введем вспомогательные векторы:

\(\vec{AB}\) - вектор, направленный от точки A к точке B.
\(\vec{CD}\) - вектор, направленный от точки C к точке D.

Так как AD = 3BC, то мы можем выразить вектор AB через векторы AD и BC, используя свойства пропорциональности:

\(\vec{AB} = \frac{1}{3} \vec{AD} = \frac{1}{3} (-\vec{CD})\)

Теперь рассмотрим вектор OD:

\(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\)

Подставим полученные выражения:

\(\vec{OD} = \vec{OA} + \frac{1}{3} (-\vec{CD}) + \vec{BC} + \vec{CD}\)

Так как \(\vec{BC} = \vec{OB} - \vec{OC}\), получим:

\(\vec{OD} = \vec{OA} + \frac{1}{3} (-\vec{CD}) + (\vec{OB} - \vec{OC}) + \vec{CD}\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(\vec{OD} = \vec{OA} + (\vec{OB} - \vec{OC}) + \frac{1}{3} (-\vec{CD}) + \vec{CD}\)

\(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC} + \frac{1}{3} (-\vec{CD} + \vec{CD})\)

Поскольку \(\vec{CD}\) и \(-\vec{CD}\) взаимно нулевые векторы, то их сумма равна нулевому вектору:

\(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC} + \frac{1}{3} \cdot 0\)

Таким образом, получаем окончательный ответ:

\(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}\)

Теперь, имея выражение для вектора OD через векторы OA, OB и OC, мы можем выразить его конкретными значениями векторов данного треугольника ABCD.