Как можно устранить разрыв функции в следующих случаях: 1) y=x^4-x^3+4x/x^2; 2) y=x^2+x-6/x-2. Какова область

Очень хорошо! Давайте рассмотрим каждый из этих случаев подробно.

1) Для начала рассмотрим функцию \(y = \frac{{x^4 - x^3 + 4x}}{{x^2}}\). Чтобы устранить разрыв функции, мы должны исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль невозможно.

Выражение \(x^2 = 0\) имеет единственное значение \(x = 0\), поэтому точка \(x = 0\) является возможной точкой разрыва. Чтобы убедиться, что это действительно точка разрыва, рассмотрим предел функции при приближении \(x\) к 0 справа и слева.

Для этого мы вычислим пределы \(\lim_{{x \to 0^+}} y\) и \(\lim_{{x \to 0^-}} y\). Давайте начнем с предела справа:

\[
\lim_{{x \to 0^+}} \frac{{x^4 - x^3 + 4x}}{{x^2}} = \frac{{0^4 - 0^3 + 4 \cdot 0}}{{0^2}} = \frac{0}{0} = \text{неопределенность}
\]

Теперь рассмотрим предел слева:

\[
\lim_{{x \to 0^-}} \frac{{x^4 - x^3 + 4x}}{{x^2}} = \frac{{0^4 - 0^3 + 4 \cdot 0}}{{0^2}} = \frac{0}{0} = \text{неопределенность}
\]

Таким образом, мы получаем неопределенность для обоих пределов, что говорит о том, что точка \(x = 0\) действительно является точкой разрыва функции.

2) Далее рассмотрим функцию \(y = \frac{{x^2 + x - 6}}{{x - 2}}\). Аналогично предыдущему случаю, чтобы устранить разрыв функции, мы должны исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю.

Выражение \(x - 2 = 0\) имеет значение \(x = 2\), так что точка \(x = 2\) является возможной точкой разрыва. Чтобы это проверить, рассмотрим пределы функции при приближении \(x\) к 2 справа и слева.

Снова вычислим пределы \(\lim_{{x \to 2^+}} y\) и \(\lim_{{x \to 2^-}} y\). Начнем с предела справа:

\[
\lim_{{x \to 2^+}} \frac{{x^2 + x - 6}}{{x - 2}} = \frac{{2^2 + 2 - 6}}{{2 - 2}} = \frac{0}{0} = \text{неопределенность}
\]

Теперь рассмотрим предел слева:

\[
\lim_{{x \to 2^-}} \frac{{x^2 + x - 6}}{{x - 2}} = \frac{{2^2 + 2 - 6}}{{2 - 2}} = \frac{0}{0} = \text{неопределенность}
\]

Таким образом, точка \(x = 2\) также является точкой разрыва функции.

Теперь перейдем к заданию б. Функция \(y = \frac{{x^2}}{{x^3 - 2x^2 - 8x}}\) имеет знаменатель, равный \(x^3 - 2x^2 - 8x\). Чтобы определить область определения, нужно исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль невозможно.

Для этого, решим уравнение \(x^3 - 2x^2 - 8x = 0\). Мы можем факторизовать это выражение, чтобы найти его корни:

\[x(x^2 - 2x - 8) = 0\]

\[x(x - 4)(x + 2) = 0\]

Таким образом, мы находим три значения \(x = 0\), \(x = 4\) и \(x = -2\). Исключим эти значения из области определения функции.

Теперь перейдем к заданию г. Функция \(y = \frac{1}{{1 - x}}\) имеет знаменатель, равный \(1 - x\). Чтобы определить область определения, нужно исключить значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю.

Решим уравнение \(1 - x = 0\):

\[x = 1\]

Таким образом, значение \(x = 1\) исключается из области определения функции.

Вот и все! В сумме, мы рассмотрели задачу устранения разрывов функций и нашли область определения и точки разрыва для каждого из предложенных случаев. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.