Как можно представить выражение 2*16^n+2^n*8^n+4^2n в виде степени с основанием?

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Нам дано выражение $2\cdot {16}^n+2^n\cdot 8^n+4^{2n}$, и нам нужно представить его в виде степени с основанием.

Шаг 1: Разложение чисел на множители
Давайте разложим числа на множители. Сначала разложим числа 16 и 8, а затем разложим число 4.

Число 16 можно разложить на множители следующим образом: $16=2^4$.
Число 8 можно разложить на множители следующим образом: $8=2^3$.
Число 4 можно разложить на множители следующим образом: $4=2^2$.

Теперь мы можем переписать выражение следующим образом:
$$2\cdot (2^4{)}^n+2^n\cdot (2^3{)}^n+(2^2{)}^{2n}$$

Шаг 2: Свойства степеней
Согласно свойствам степеней, чтобы возвести степень в степень, нужно умножить показатели степени. Используем это свойство для переписывания выражения.

Теперь выражение примет следующий вид:
$$2\cdot 2^{4n}+2^n\cdot 2^{3n}+2^{2\cdot 2n}$$

Шаг 3: Ассоциативное свойство сложения
Согласно ассоциативному свойству сложения, порядок слагаемых в сумме не важен. Перегруппируем слагаемые с помощью этого свойства.

Теперь выражение примет следующий вид:
$$2^{4n}\cdot 2+2^n\cdot 2^{3n}+2^{2n}\cdot 2^2$$

Шаг 4: Закон сложения степеней
Согласно закону сложения степеней с одинаковым основанием, можно сложить показатели степени, оставив основание неизменным.

Теперь выражение примет следующий вид:
$$2^{4n+1}+2^{4n}\cdot 2^{2n}+2^{2n+2}$$

Шаг 5: Факторизация
Давайте проведем факторизацию, выделив общий множитель $2^{2n}$.

Теперь выражение примет следующий вид:
$$2^{4n+1}+2^{4n}\cdot 2^{2n}+2^{2n+2}$$
$$=2^{2n}\cdot 2^2+2^{2n}\cdot 2^{2n}+2^{2n}\cdot 2^1$$

Шаг 6: Ассоциативное свойство умножения
Согласно ассоциативному свойству умножения, порядок множителей в произведении не важен. Мы можем перегруппировать слагаемые так, чтобы выделялся общий множитель $2^{2n}$.

Теперь выражение примет следующий вид:
$$2^{2n}\cdot (2^2+2^{2n}+2^1)$$

Шаг 7: Упрощение
Теперь мы можем упростить выражение, сложив слагаемые в скобках.

Выражение примет следующий вид:
$$2^{2n}\cdot (4+2^{2n}+2)$$
$$=2^{2n}\cdot (2^{2n}+6)$$

Таким образом, данное выражение можно представить в виде степени с основанием $2^{2n}$ и показателем $2^{2n}+6$.

Ответ: $2\cdot {16}^n+2^n\cdot 8^n+4^{2n}=2^{2n}\cdot (2^{2n}+6)$.