Как можно представить выражение 2*16^n+2^n*8^n+4^2n в виде степени с основанием?

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Нам дано выражение \(2 \cdot 16^n + 2^n \cdot 8^n + 4^{2n}\), и нам нужно представить его в виде степени с основанием.

Шаг 1: Разложение чисел на множители
Давайте разложим числа на множители. Сначала разложим числа 16 и 8, а затем разложим число 4.

Число 16 можно разложить на множители следующим образом: \(16 = 2^4\).
Число 8 можно разложить на множители следующим образом: \(8 = 2^3\).
Число 4 можно разложить на множители следующим образом: \(4 = 2^2\).

Теперь мы можем переписать выражение следующим образом:
\[2 \cdot (2^4)^n + 2^n \cdot (2^3)^n + (2^2)^{2n}\]

Шаг 2: Свойства степеней
Согласно свойствам степеней, чтобы возвести степень в степень, нужно умножить показатели степени. Используем это свойство для переписывания выражения.

Теперь выражение примет следующий вид:
\[2 \cdot 2^{4n} + 2^n \cdot 2^{3n} + 2^{2 \cdot 2n}\]

Шаг 3: Ассоциативное свойство сложения
Согласно ассоциативному свойству сложения, порядок слагаемых в сумме не важен. Перегруппируем слагаемые с помощью этого свойства.

Теперь выражение примет следующий вид:
\[2^{4n} \cdot 2 + 2^n \cdot 2^{3n} + 2^{2n} \cdot 2^2\]

Шаг 4: Закон сложения степеней
Согласно закону сложения степеней с одинаковым основанием, можно сложить показатели степени, оставив основание неизменным.

Теперь выражение примет следующий вид:
\[2^{4n+1} + 2^{4n} \cdot 2^{2n} + 2^{2n+2}\]

Шаг 5: Факторизация
Давайте проведем факторизацию, выделив общий множитель \(2^{2n}\).

Теперь выражение примет следующий вид:
\[2^{4n+1} + 2^{4n} \cdot 2^{2n} + 2^{2n+2}\]
\[= 2^{2n} \cdot 2^2 + 2^{2n} \cdot 2^{2n} + 2^{2n} \cdot 2^1\]

Шаг 6: Ассоциативное свойство умножения
Согласно ассоциативному свойству умножения, порядок множителей в произведении не важен. Мы можем перегруппировать слагаемые так, чтобы выделялся общий множитель \(2^{2n}\).

Теперь выражение примет следующий вид:
\[2^{2n} \cdot (2^2 + 2^{2n} + 2^1)\]

Шаг 7: Упрощение
Теперь мы можем упростить выражение, сложив слагаемые в скобках.

Выражение примет следующий вид:
\[2^{2n} \cdot (4 + 2^{2n} + 2)\]
\[= 2^{2n} \cdot (2^{2n} + 6)\]

Таким образом, данное выражение можно представить в виде степени с основанием \(2^{2n}\) и показателем \(2^{2n} + 6\).

Ответ: \(2 \cdot 16^n + 2^n \cdot 8^n + 4^{2n} = 2^{2n} \cdot (2^{2n} + 6)\).