Как можно построить графики функций, используя сдвиги и деформации? Какие являются областью определения и областью

Чтобы построить график функции с использованием сдвигов и деформаций, нам понадобится изначальный график функции и некоторые правила для изменения этой функции.

1. Сдвиг по оси x:
Для сдвига графика функции влево или вправо наличие у нас функции $f(x)$. Для того чтобы сдвинуть график влево на $c$ единиц, необходимо заменить $x$ на $x+c$ в функции, то есть $f(x-c)$. Аналогично, для сдвига графика вправо на $c$ единиц используем $f(x+c)$.

2. Сдвиг по оси y:
Если мы хотим сдвинуть график функции вверх или вниз, то для этого нам понадобится функция $f(x)$. Для сдвига вверх на $d$ единиц мы заменяем $f(x)$ на $f(x)+d$, а для сдвига вниз на $d$ единиц используем $f(x)-d$.

3. Деформация графика:
Для деформации графика функции вдоль оси x и y, мы можем умножать или делить функцию на некоторую константу.
- Если умножить функцию на положительную константу $a$, то график функции будет "растягиваться" или "сжиматься" вертикально. Например, если мы умножим функцию на $2$, график будет стягиваться в два раза к оси x, а если мы умножим функцию на $\frac{1}{2}$, график будет растягиваться в два раза от оси x.
- Если мы умножим функцию на отрицательную константу $a$, график будет "отражаться" относительно оси x. Например, если мы умножим функцию на $-1$, график будет отражаться от оси x.

Теперь рассмотрим примеры с функциями разных типов:

1. Линейная функция $f(x)=kx+b$:
- Область определения: для линейной функции область определения является множеством всех вещественных чисел, так как в формуле $f(x)=kx+b$ переменная $x$ может принимать любое вещественное значение.
- Область значений: также для линейной функции область значений является множеством всех вещественных чисел, так как при любом значении $x$ выражение $f(x)=kx+b$ будет давать нам результат в виде вещественного числа.
- Монотонность: для линейной функции монотонность зависит от значения коэффициента $k$. Если $k>0$, то функция будет возрастать, а если $k<0$, то функция будет убывать. Монотонные промежутки отображаются на графике функции в виде прямых линий.

2. Квадратичная функция $f(x)=a{x}^2+bx+c$:
- Область определения: для квадратичной функции область определения также является множеством всех вещественных чисел.
- Область значений: если $a>0$, то область значений ограничена снизу, то есть существует наименьшее значение функции. Если $a<0$, то область значений ограничена сверху, то есть существует наибольшее значение функции.
- Монотонность: квадратичная функция может быть монотонной только на некотором конечном промежутке. Например, если $a>0$, то функция будет убывать до достижения своего минимума, а затем возрастать. Если $a<0$, то функция будет возрастать до достижения своего максимума, а затем убывать.

3. Экспоненциальная функция $f(x)=a^x$:
- Область определения: для экспоненциальной функции область определения может быть разной в зависимости от значения базы $a$. В общем случае, если $a>0$ и $a\ne 1$, то область определения является множеством всех вещественных чисел.
- Область значений: если $a>1$, то область значений будет положительными числами. Если $0<a<1$, то область значений будет положительными числами от $0$ до $1$.
- Монотонность: экспоненциальная функция всегда монотонна. Если $a>1$, то функция будет возрастать. Если $0<a<1$, то функция будет убывать.

Таким образом, вы можете использовать указанные правила для строительства графиков функций с использованием сдвигов и деформаций. Не забывайте, что у каждой функции есть своя область определения и область значений, а также промежутки монотонности, которые отражаются на графике функции.