Как можно подробнее решите данное неравенство: x^2 * log243(-x-3)> = log3(x^2+6x+9

Хорошо, давайте решим данное неравенство подробно. Начнем с того, что заметим, что левая часть неравенства содержит выражение \(x^2\), а правая часть - \(\log_3(x^2+6x+9)\). Наша задача состоит в том, чтобы найти значения \(x\), для которых это неравенство выполняется.

Первым шагом мы можем привести левую часть неравенства к одной степени логарифма. Для этого воспользуемся свойством логарифма: \(\log_a b^n = n \cdot \log_a b\). Применим это свойство:

\[x^{2} \cdot \log_{243}(-x-3) \geq \log_{3}(x^{2}+6x+9)\]

Заметим, что основание логарифма в левой части равно 243. Так как 243 можно представить как \(3^5\), то мы можем записать:

\[x^2 \cdot \left(\log_{3}(-x-3)\right)^5 \geq \log_{3}(x^{2}+6x+9)\]

Теперь применим свойство логарифма \(\log_a b^n = n \cdot \log_a b\) чтобы избавиться от степени:

\[x^2 \cdot 5 \cdot \log_{3}(-x-3) \geq \log_{3}(x^{2}+6x+9)\]

Далее мы можем привести оба логарифма к общему основанию 3, чтобы упростить задачу:

\[5x^2 \cdot \log_{3}(-x-3) \geq \log_{3}(x^{2}+6x+9)\]

Теперь нам нужно решить это неравенство. Для начала, чтобы исключить логарифмы, давайте перейдем к эквивалентному уравнению, выражая обе стороны неравенства в виде степени 3:

\[3^{5x^2 \cdot \log_{3}(-x-3)} \geq 3^{\log_{3}(x^{2}+6x+9)}\]

Так как логарифмы действительно отменяются, получаем:

\[3^{5x^2 \cdot \log_{3}(-x-3)} \geq (x^{2}+6x+9)\]

Теперь у нас есть эквивалентное уравнение, в котором левая и правая сторона не содержат логарифмы. Давайте продолжим его решение.

Мы можем упростить левую часть уравнения, заменив \(5x^2 \cdot \log_{3}(-x-3)\) на \(3^{5x^2}\):

\[3^{5x^2} \geq (x^{2}+6x+9)\]

Избавимся от основания 3, применив логарифм по основанию 3 к обоим сторонам уравнения:

\[5x^2 \geq \log_{3}(x^{2}+6x+9)\]

Теперь нам нужно решить это уравнение. Применим обратное свойство логарифма, чтобы избавиться от логарифма:

\[3^{5x^2} \geq (x^{2}+6x+9)\]

Теперь мы получили квадратное уравнение. Давайте решим его, приравняв правую часть к нулю:

\[3^{5x^2} - (x^{2}+6x+9) \geq 0\]

\[3^{5x^2} - x^{2}-6x-9 \geq 0\]

Теперь мы можем приступить к решению этого квадратного уравнения.