Как можно найти углы треугольника АВС, используя метод координат? Известны координаты точек А (4;1), В (7;3) и С (2;4

Чтобы найти углы треугольника АВС, используя метод координат, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Позвольте мне подробно объяснить каждый шаг.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника
Для этого нам понадобится использовать координатную геометрию. Используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат, можем вычислить длину каждой стороны треугольника АВС.

Длина стороны АВ:
\[AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[AB = \sqrt{{(7 - 4)^2 + (3 - 1)^2}}\]
\[AB = \sqrt{{3^2 + 2^2}}\]
\[AB = \sqrt{{9 + 4}}\]
\[AB = \sqrt{{13}}\]

Длина стороны ВС:
\[BC = \sqrt{{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2}}\]
\[BC = \sqrt{{(2 - 7)^2 + (4 - 3)^2}}\]
\[BC = \sqrt{{(-5)^2 + 1^2}}\]
\[BC = \sqrt{{25 + 1}}\]
\[BC = \sqrt{{26}}\]

Длина стороны АС:
\[AC = \sqrt{{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2}}\]
\[AC = \sqrt{{(2 - 4)^2 + (4 - 1)^2}}\]
\[AC = \sqrt{{(-2)^2 + 3^2}}\]
\[AC = \sqrt{{4 + 9}}\]
\[AC = \sqrt{{13}}\]

Шаг 2: Найдем углы треугольника с использованием теоремы косинусов
Теорема косинусов гласит: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\), где c - длина стороны треугольника противолежащая углу C, a и b - длины других двух сторон треугольника.

Угол А:
\[\cos(A) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}} = \frac{{\sqrt{{26}}^2 + \sqrt{{13}}^2 - \sqrt{{13}}^2}}{{2 \cdot \sqrt{{26}} \cdot \sqrt{{13}}}}\]
\[\cos(A) = \frac{{26 + 13 - 13}}{{2 \cdot \sqrt{{26}} \cdot \sqrt{{13}}}}\]
\[\cos(A) = \frac{{26}}{{2 \cdot \sqrt{{26}} \cdot \sqrt{{13}}}}\]
\[\cos(A) = \frac{{13}}{{\sqrt{{26}} \cdot \sqrt{{13}}}}\]
\[\cos(A) = \frac{{\sqrt{{13}}}}{{\sqrt{{26}}}}\]

Угол В:
\[\cos(B) = \frac{{a^2 + c^2 - b^2}}{{2ac}} = \frac{{\sqrt{{13}}^2 + \sqrt{{13}}^2 - \sqrt{{26}}^2}}{{2 \cdot \sqrt{{13}} \cdot \sqrt{{13}}}}\]
\[\cos(B) = \frac{{13 + 13 - 26}}{{2 \cdot \sqrt{{13}} \cdot \sqrt{{13}}}}\]
\[\cos(B) = \frac{{0}}{{2 \cdot \sqrt{{13}} \cdot \sqrt{{13}}}}\]
\[\cos(B) = 0\]

Заметим, что \(\cos(B) = 0\), что означает, что угол В равен 90 градусов.

Угол C:
\[\cos(C) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}} = \frac{{\sqrt{{13}}^2 + \sqrt{{26}}^2 - \sqrt{{13}}^2}}{{2 \cdot \sqrt{{13}} \cdot \sqrt{{26}}}}\]
\[\cos(C) = \frac{{13 + 26 - 13}}{{2 \cdot \sqrt{{13}} \cdot \sqrt{{26}}}}\]
\[\cos(C) = \frac{{26}}{{2 \cdot \sqrt{{13}} \cdot \sqrt{{26}}}}\]
\[\cos(C) = \frac{{13}}{{\sqrt{{13}} \cdot \sqrt{{26}}}}\]
\[\cos(C) = \frac{{1}}{{\sqrt{{26}}}}\]

Шаг 3: Найдем значения углов А, В и С с использованием обратной функции косинуса (арккосинус)
Угол А:
\[A = \arccos\left(\frac{{\sqrt{{13}}}}{{\sqrt{{26}}}}\right)\]
\[A = \arccos\left(\frac{{\sqrt{{13}}}}{{\sqrt{{26}}}}\right)\]

Угол В:
\[B = 90^\circ\]

Угол C:
\[C = \arccos\left(\frac{{1}}{{\sqrt{{26}}}}\right)\]
\[C = \arccos\left(\frac{{1}}{{\sqrt{{26}}}}\right)\]

Теперь мы знаем значения углов треугольника АВС, используя метод координат. Угол А равен \[A = \arccos\left(\frac{{\sqrt{{13}}}}{{\sqrt{{26}}}}\right)\], угол В равен 90 градусов, а угол C равен \[C = \arccos\left(\frac{{1}}{{\sqrt{{26}}}}\right)\].