Как можно найти числовые характеристики случайной величины ξ, которая имеет табличное распределение вероятностей?

Чтобы найти числовые характеристики случайной величины \(\xi\), имеющей табличное распределение вероятностей, нам потребуется знать таблицу распределения вероятностей этой случайной величины. Такая таблица содержит значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Перед тем как приступить к нахождению числовых характеристик, нам необходимо определиться с используемыми характеристиками. Возможные основные числовые характеристики случайной величины включают в себя математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

1. Математическое ожидание (\(\mu\)) представляет собой среднее значение случайной величины и является мерой "центра" распределения. Для нахождения математического ожидания случайной величины, имеющей табличное распределение вероятностей, мы умножаем каждое значение случайной величины на соответствующую ему вероятность и складываем полученные произведения. Формула для вычисления математического ожидания представлена ниже:

\[
\mu = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P(\xi = x_i)
\]

где \(n\) - количество значений случайной величины, \(x_i\) - значение случайной величины, \(P(\xi = x_i)\) - вероятность, соответствующая значению \(x_i\).

2. Дисперсия (\(\sigma^2\)) характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для нахождения дисперсии случайной величины, имеющей табличное распределение вероятностей, мы вычисляем сумму квадратов разности каждого значения случайной величины и математического ожидания, умножаем полученную сумму на соответствующую вероятность и складываем полученные произведения. Формула для вычисления дисперсии представлена ниже:

\[
\sigma^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(\xi = x_i)
\]

3. Среднеквадратическое отклонение (\(\sigma\)) является положительным квадратным корнем из дисперсии и представляет собой меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Помимо указанных числовых характеристик, можно еще рассмотреть другие, такие как моду (наиболее часто встречающееся значение случайной величины) или медиану (значение, разделяющее упорядоченное множество значений пополам).

Теперь, когда мы определились с используемыми характеристиками, можем приступить к расчетам. Для этого нам нужно знать таблицу распределения вероятностей случайной величины \(\xi\).

Предположим, у нас есть следующая таблица распределения вероятностей:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Значение } x_i & \text{Вероятность } P(\xi = x_i) \\
\hline
x_1 & P(\xi = x_1) \\
x_2 & P(\xi = x_2) \\
\ldots & \ldots \\
x_n & P(\xi = x_n) \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем приступить к вычислению числовых характеристик.

Для вычисления математического ожидания \(\mu\) нам нужно умножить каждое значение \(x_i\) на соответствующую ему вероятность \(P(\xi = x_i)\) и сложить полученные произведения. Таким образом, математическое ожидание вычисляется по формуле:

\[
\mu = x_1 \cdot P(\xi = x_1) + x_2 \cdot P(\xi = x_2) + \ldots + x_n \cdot P(\xi = x_n)
\]

Для вычисления дисперсии \(\sigma^2\) нам нужно для каждого значения \(x_i\) вычислить квадрат разности \((x_i - \mu)^2\), умножить этот квадрат на соответствующую вероятность \(P(\xi = x_i)\) и сложить полученные произведения. Таким образом, дисперсия вычисляется по формуле:

\[
\sigma^2 = (x_1 - \mu)^2 \cdot P(\xi = x_1) + (x_2 - \mu)^2 \cdot P(\xi = x_2) + \ldots + (x_n - \mu)^2 \cdot P(\xi = x_n)
\]

Среднеквадратическое отклонение \(\sigma\) можно найти как положительный квадратный корень из дисперсии \(\sigma^2\).

Надеюсь, эти шаги помогут вам легко найти числовые характеристики вашей случайной величины \(\xi\) с табличным распределением вероятностей. Удачи в вашей работе!