Как можно доказать тождества tg(90° — а) =ctga (a≠0°) и ctg(90°-a) =tga (a≠0°)?

Для доказательства данных тождеств, нам потребуются определения и свойства тригонометрических функций. Давайте начнем с первого выражения.

Тождество tg(90° - а) = ctga (a ≠ 0°) можно доказать, используя определение тангенса и котангенса, а также свойства тригонометрических функций.

Определение тангенса гласит, что tg(θ) = sin(θ) / cos(θ), а определение котангенса гласит, что ctg(θ) = cos(θ) / sin(θ).

Рассмотрим выражение tg(90° - а). Мы можем представить угол (90° - а) как сумму двух углов: (90° - а) = 90° + (-а). Пользуясь свойством синуса и косинуса для суммы углов, мы можем записать его как tg(90° + (-а)).

Теперь мы можем применить следующие свойства:

1. Тангенс дополнительного угла: tg(90° + α) = -1 / tg(α). Данное свойство позволяет нам заменить угол 90° на -а.

2. Знак минус перед углом: tg(-α) = -tg(α). Следуя этому свойству, мы можем изменить знак угла -а на противоположный.

Применяя эти свойства к нашему выражению, мы получим:

tg(90° - а) = tg(-(а - 90°)) = -tg(а - 90°).

Теперь мы можем снова использовать свойство тангенса дополнительного угла и получить:

-tg(а - 90°) = -(-1 / tg(а)) = 1 / tg(а).

Это эквивалентно выражению ctga (a ≠ 0°), что и требовалось доказать.

Теперь давайте перейдем ко второму тождеству, ctg(90° - а) = tga (a ≠ 0°).

Аналогично первому тождеству, мы можем представить угол (90° - а) как сумму двух углов: (90° - а) = 90° + (-а).

Используя определение котангенса и те же свойства тригонометрических функций, мы можем записать выражение ctg(90° - а) следующим образом:

ctg(90° - а) = ctg(90° + (-а)).

Применяя свойства, описанные ранее, получаем:

ctg(90° + (-а)) = -1 / tg(-a) = -1 / (-tg(a)) = 1 / tg(a).

Это эквивалентно выражению tga (a ≠ 0°), что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали оба тождества tg(90° - а) = ctga (a ≠ 0°) и ctg(90° - а) = tga (a ≠ 0°), используя определения и свойства тригонометрических функций.