Как можно доказать, что выражение 2^n+1 принимает простое значение при любом натуральном числе n? Предоставьте

Доказательство для случая, когда \(n = 1\):

Для начала, заметим, что если число \(a\) делится на число \(b\), то остаток от деления \(a\) на \(b\) также делится на \(b\). Это можно записать в виде \(a \equiv 0 \pmod b\), где \(\equiv\) означает "сравнимо по модулю", а \(a \pmod b\) обозначает остаток от деления \(a\) на \(b\).

Используя этот факт, рассмотрим выражение \(2^1 + 1 = 2 + 1 = 3\). Чтобы доказать, что это простое число, нам нужно убедиться, что оно не делится ни на одно другое натуральное число, кроме 1 и самого себя.

В данном случае, мы видим, что число 3 не делится ни на какое натуральное число больше 1. Таким образом, мы доказали, что \(2^1 + 1 = 3\) является простым числом при \(n = 1\).

Теперь рассмотрим случай, когда \(n\) является степенью числа 2.

Пусть \(n = 2^k\), где \(k\) - натуральное число.

Тогда выражение \(2^n + 1\) можно переписать следующим образом:

\[2^{2^k} + 1\]

Заметим, что данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое - это число \(2^{2^k}\), которое является степенью числа 2. Второе слагаемое - это число 1.

Мы знаем, что \(2^{2^k}\) является степенью числа 2, поэтому остаток от деления этого числа на любое натуральное число будет равен 1 или 0.

То есть, \(2^{2^k} \equiv 0 \pmod p\) или \(2^{2^k} \equiv 1 \pmod p\), где \(p\) - любое натуральное число.

Следовательно, выражение \(2^{2^k} + 1\) будет принимать значение, которое либо делится на \(p\), либо является на 1 больше кратного \(p\).

Таким образом, мы можем утверждать, что выражение \(2^n + 1\) принимает простое значение при любом натуральном числе \(n\), когда \(n\) является степенью числа 2.