Как можно доказать, что в процессе «скольжения» двух соседних вершин квадрата по сторонам прямого угла, его центр

Чтобы доказать, что центр квадрата всегда будет находиться на биссектрисе прямого угла в процессе скольжения двух соседних вершин, давайте рассмотрим следующую ситуацию.

Представим, что у нас есть квадрат со сторонами длиной \(a\) и центром в точке \(O\). Теперь рассмотрим процесс скольжения двух соседних вершин квадрата по сторонам прямого угла. Пусть одна из вершин квадрата начинает двигаться по горизонтальной стороне, а другая - по вертикальной стороне.

Для облегчения рассуждений, предположим, что начальная координата вершины, которая движется по горизонтали, равна \((0,0)\). Тогда, начальная координата вершины, движущейся по вертикали будет \((0,a)\).

Пусть вершина, идущая по горизонтали, достигла точки \((x,0)\), где \(0 \leq x \leq a\). В то же время, вершина, идущая по вертикали, достигла точки \((0,a-x)\). Обратите внимание, что \(x\) - это расстояние, которое уже пройдено вершиной по горизонтали.

Теперь рассмотрим подобные треугольники. Мы видим, что у нас есть два треугольника: один с вершинами в точках \((0,0)\), \((x,0)\) и \((x,a)\), и второй с вершинами в точках \((0,0)\), \((0,a-x)\) и \((x,a)\).

Оба треугольника являются прямоугольными, так как одна из их сторон параллельна оси \(x\), а другая - к оси \(y\).

Теперь, давайте рассмотрим отношение сторон треугольников. Для первого треугольника, отношение сторон равно \(\frac{x}{a}\), так как сторона, соединяющая точку \((0,0)\) с \((x,0)\), равна \(x\), а горизонтальная сторона, равная \(a\), остается неизменной.

Для второго треугольника, отношение сторон равно \(\frac{a-x}{a}\), так как сторона, соединяющая точку \((0,0)\) со \((0,a-x)\), равна \(a-x\), а вертикальная сторона, равная \(a\), остается неизменной.

Теперь давайте заметим, что отношения сторон обоих треугольников равны, а именно \(\frac{x}{a} = \frac{a-x}{a}\). Если мы решим это уравнение относительно \(x\), то получим \(x = \frac{a}{2}\).

Это означает, что в точке \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\), которая является центром квадрата, вершины квадрата будут находиться на биссектрисе прямого угла. Как только вершины достигнут этой точки, их позиции поменяются, но центр всегда будет находиться на биссектрисе.

Таким образом, мы доказали, что в процессе скольжения двух соседних вершин квадрата по сторонам прямого угла, его центр всегда будет находиться на биссектрисе этого угла.