Как меняются модули тангенциального и нормального ускорений частицы, если ее скорость изменяется со временем по закону

Для начала рассмотрим траекторию движения частицы. Поскольку скорость частицы изменяется со временем, её траектория будет криволинейной.

Модуль полного ускорения частицы можно выразить следующим образом:

\[a_\text{полное} = \sqrt{(a_\text{тангенциальное})^2 + (a_\text{нормальное})^2}\]

Мы знаем, что \(a_\text{полное} = 5a\).

Также, помним, что тангенциальное ускорение \(a_\text{тангенциальное}\) определяется как производная скорости по времени:

\[a_\text{тангенциальное} = \frac{{dv}}{{dt}}\]

Зная, что скорость \(v\) является функцией времени \(t\) по закону \(v = 3at + b\), мы можем вычислить тангенциальное ускорение:

\[a_\text{тангенциальное} = \frac{{d(3at + b)}}{{dt}} = 3a\]

Теперь мы можем использовать формулу для модуля полного ускорения, чтобы найти нормальное ускорение \(a_\text{нормальное}\):

\[5a = \sqrt{(3a)^2 + (a_\text{нормальное})^2}\]

Раскрывая квадрат и решая уравнение, получаем:

\[25a^2 = 9a^2 + (a_\text{нормальное})^2\]

\[(a_\text{нормальное})^2 = 16a^2\]

\[a_\text{нормальное} = 4a\]

Таким образом, модуль тангенциального ускорения \(a_\text{тангенциальное}\) не зависит от времени и равен \(3a\), а модуль нормального ускорения \(a_\text{нормальное}\) также не зависит от времени и равен \(4a\).

Теперь перейдем к второй части задачи. Рассмотрим моментальный радиус кривизны \(R\) траектории частицы. Моментальный радиус кривизны определяется соотношением:

\[R = \frac{{v^2}}{{a_\text{нормальное}}}\]

Подставляем \(v = 3at + b\) и \(a_\text{нормальное} = 4a\):

\[R = \frac{{(3at + b)^2}}{{4a}}\]

\[R = \frac{{9a^2t^2 + 6abt + b^2}}{{4a}}\]

Таким образом, радиус кривизны \(R\) траектории зависит от времени \(t\) и выражается через постоянные \(a\) и \(b\) согласно данной формуле.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как меняются модули тангенциального и нормального ускорений частицы, а также как связан радиус кривизны траектории с временем. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!