Как меняется полное ускорение тела со временем, если его скорость движения по окружности увеличивается линейно

Для решения этой задачи мы должны разобраться в связи между полным ускорением \(\text{а}\) и скоростью тела, движущегося по окружности.

Согласно закону движения по окружности, линейная скорость \(v\) тела может быть выражена как произведение радиуса \(r\) на угловую скорость \(\omega\), т.е. \(v = r\omega\). В данной задаче у нас дано, что скорость изменяется линейно со временем, \(v = kt\), где \(k\) — некий коэффициент пропорциональности, и \(t\) — время.

Чтобы найти полное ускорение тела, используем выражение для линейной скорости и радиуса: \(v = r\omega\). Также, полное ускорение \(\text{а}\) определяется как произведение радиуса \(r\) на квадрат угловой скорости \(\omega^2\), т.е. \(\text{а} = r\omega^2\).

Подставим выражение для угловой скорости: \(\omega = \frac{v}{r}\). Получаем:

\(\text{а} = r \cdot \left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{v^2}{r}\)

Теперь у нас есть выражение для полного ускорения тела в зависимости от скорости и радиуса. Чтобы ответить на вопрос, как меняется полное ускорение со временем, мы должны учесть, что скорость \(v\) меняется линейно со временем, \(v = kt\), и что радиус \(r\) остаётся постоянным. Следовательно, полное ускорение \(\text{а}\) будет пропорционально квадрату скорости \(\text{а} \propto v^2\) и не будет зависеть от времени \(t\).

Итак, полное ускорение тела никак не зависит от времени, если его скорость движения по окружности увеличивается линейно по закону \(v = kt\) при постоянном радиусе.