Как меняется индукция магнитного поля внутри плоского конденсатора радиусом 10 см со временем, если напряженность

Для решения данной задачи нам понадобятся следующие физические законы:

1. Закон Фарадея, который гласит, что электродвижущая сила индукции \( \mathcal{E} \), возникающая в контуре, равна скорости изменения магнитного потока \( \Phi \) через этот контур: \( \mathcal{E} = -\frac{{d\Phi}}{{dt}} \).
2. Формула для расчета магнитного поля проводящего контура \( B \), основанная на законе Био-Савара-Лапласа: \( B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \cdot \pi \cdot r}} \), где \( \mu_0 \) - магнитная постоянная (приближенно равна \( 4 \pi \cdot 10^{-7} \, \text{Вб/м} \)), \( I \) - сила тока в контуре, \( r \) - расстояние от оси контура.

Теперь рассмотрим задачу подробнее и найдем решение.

Из условия задачи дано, что напряженность поля \( E \) равна \( \alpha t \), где \( \alpha = 9 \cdot 10^{10} \, \text{В/м} \cdot \text{с} \). Нам нужно определить изменение магнитного поля \( B \) внутри плоского конденсатора со временем и значение магнитного поля в точке на расстоянии 5 см от оси конденсатора.

Для начала определим индукцию магнитного поля \( B \) внутри плоского конденсатора. Поскольку обмотки конденсатора расположены в плоскости, индукция магнитного поля будет зависеть только от времени и может быть найдена с использованием закона Фарадея.

Проинтегрируем уравнение \( E = \frac{{d\Phi}}{{dt}} \):
\[ \int E \, dt = \int \frac{{d\Phi}}{{dt}} \, dt \]
\[ \int E \, dt = \Phi + C \]
где \( C \) - постоянная интегрирования.

Теперь найдем значение постоянной \( C \). Для этого рассмотрим начальное условие: при \( t = 0 \) индукция магнитного поля внутри плоского конденсатора равна нулю. Это означает, что при \( t = 0 \) магнитный поток \( \Phi \) также равен нулю. Подставим эти значения в уравнение:
\[ \int_0^0 E \, dt = 0 + C \]
\[ 0 = C \]
Получаем, что \( C = 0 \).

Теперь мы можем выразить магнитный поток \( \Phi \) через напряженность поля \( E \):
\[ \int E \, dt = \Phi \]

Для нахождения изменения магнитного поля \( B \) с временем, подставим выражение \( E = \alpha t \) в уравнение:
\[ \int_0^t \alpha t \, dt = \Phi \]
\[ \frac{\alpha}{2} t^2 = \Phi \]

Теперь найдем значение магнитного поля \( B \) в заданной точке на расстоянии 5 см от оси конденсатора. Заметим, что внутри конденсатора индукция магнитного поля \( B \) будет создаваться кольцевым током.

Для определения магнитного поля \( B \) на данном расстоянии воспользуемся формулой \( B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \cdot \pi \cdot r}} \), где \( r = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м} \).

Теперь найдем силу тока \( I \) внутри плоского конденсатора, используя выражение \( \frac{\alpha}{2} t^2 = \Phi \) и учитывая, что магнитный поток через площадь контура равен \( \Phi \):
\[ \frac{\alpha}{2} t^2 = \Phi \]
Так как площадь контура равна \( A = \pi \cdot r^2 \), где \( r \) - радиус контура, то сила тока может быть найдена как \( I = \frac{\Phi}{A} = \frac{\Phi}{\pi \cdot r^2} \):
\[ I = \frac{\Phi}{\pi \cdot r^2} \]

Теперь мы можем вычислить значение магнитного поля \( B \) на расстоянии 5 см от оси конденсатора:
\[ B = \frac{\mu_0 \cdot I}{2 \cdot \pi \cdot r} = \frac{\mu_0 \cdot \frac{\Phi}{\pi \cdot r^2}}{2 \cdot \pi \cdot r} \]

Подставим значение индукции магнитного поля \( \Phi \), равной \( \frac{\alpha}{2} t^2 \), и значение радиуса \( r = 0.05 \) метра:
\[ B = \frac{\mu_0 \cdot \frac{\alpha}{2} t^2}{2 \cdot \pi \cdot r^3} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{9 \cdot 10^{10}}{2} \cdot t^2}{2 \cdot \pi \cdot (0.05)^3} \]

Теперь у нас есть выражение для изменения индукции магнитного поля \( B \) внутри плоского конденсатора со временем и значение магнитного поля на расстоянии 5 см от оси конденсатора.

Для полного решения задачи нам нужно знать значение времени \( t \). Если Вы предоставите это значение, я смогу вычислить ответ полностью.