Как изобразить точки а(–4; 6; –3), в(7; –3; 5), с(–5; –4; 0), d(3; 0; –5) на координатной плоскости? Какие координаты

Чтобы изобразить точки \(a(-4; 6; -3)\), \(b(7; -3; 5)\), \(c(-5; -4; 0)\) и \(d(3; 0; -5)\) на координатной плоскости, мы можем нарисовать трехмерную систему координат XYZ, где ось X будет горизонтальная, ось Y - вертикальная, а ось Z - ось, выходящая из плоскости.

Точка \(a(-4; 6; -3)\) может быть изображена следующим образом:
- Сместимся вдоль оси X на -4 единицы от начала координат.
- Затем, от этой точки, поднимемся вдоль оси Y на 6 единиц.
- И, наконец, от этой точки, сместимся вдоль оси Z вниз на 3 единицы.

Точно также проиллюстрируем все остальные точки на координатной плоскости, используя их соответствующие координаты.

Чтобы найти координаты точки \(b\) и точки \(а\), нам нужно использовать разность между соответствующими координатами.
- Координаты точки \(b\) : \(x_b = 7 - (-4) = 11\), \(y_b = -3 - 6 = -9\), \(z_b = 5 - (-3) = 8\).
- Координаты точки \(а\) : \(x_a = -4\), \(y_a = 6\), \(z_a = -3\).

Расстояние между точками \(b\) и \(а\) можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}}\]

Подставляя значения, получаем:
\[d = \sqrt{{(11 - (-4))^2 + (-9 - 6)^2 + (8 - (-3))^2}}\]
\[d = \sqrt{{15^2 + (-15)^2 + 11^2}}\]
\[d = \sqrt{{225 + 225 + 121}}\]
\[d = \sqrt{{571}}\]

Теперь давайте найдем координаты середины \(р\) отрезка между точками \(с\) и \(d\). Мы можем найти среднее арифметическое каждой пары соответствующих координат:
- Координаты точки \(р\) : \(x_p = (x_c + x_d) / 2\), \(y_p = (y_c + y_d) / 2\), \(z_p = (z_c + z_d) / 2\).
- Подставляем значения: \(x_p = (-5 + 3) / 2 = -1\), \(y_p = (-4 + 0) / 2 = -2\), \(z_p = (0 - 5) / 2 = -2.5\).

Наконец, для нахождения угла между векторами, мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:
\[\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}}{{|\mathbf{v}| \cdot |\mathbf{u}|}}\]

Где \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{u}\) - векторы, для которых мы хотим найти угол, а \(|\mathbf{v}|\) и \(|\mathbf{u}|\) - их длины.

Вектор \(\mathbf{v}\) можно найти как разность между координатами точек \(b\) и \(а\):
\(\mathbf{v} = (x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a)\)

По аналогии, вектор \(\mathbf{u}\) можно найти как разность между координатами точек \(c\) и \(d\):
\(\mathbf{u} = (x_c - x_d, y_c - y_d, z_c - z_d)\)

Вычислим значения векторов:
\(\mathbf{v} = (11 - (-4), -9 - 6, 8 - (-3)) = (15, -15, 11)\)
\(\mathbf{u} = (-5 - 3, -4 - 0, 0 - (-5)) = (-8, -4, 5)\)

Теперь найдем длины векторов:
\(|\mathbf{v}| = \sqrt{{15^2 + (-15)^2 + 11^2}} = \sqrt{{571}}\)
\(|\mathbf{u}| = \sqrt{{(-8)^2 + (-4)^2 + 5^2}} = \sqrt{{105}}\)

Подставим значения в формулу для нахождения угла:
\[\cos{\theta} = \frac{{(15) \cdot (-8) + (-15) \cdot (-4) + (11) \cdot (5)}}{{\sqrt{{571}} \cdot \sqrt{{105}}}}\]

В конечном итоге, мы можем найти угол, взяв арккосинус от полученного значения:
\[\theta = \arccos{\left(\frac{{(15) \cdot (-8) + (-15) \cdot (-4) + (11) \cdot (5)}}{{\sqrt{{571}} \cdot \sqrt{{105}}}}\right)}\]

Итак, мы рассмотрели, как изобразить точки \(a(-4; 6; -3)\), \(b(7; -3; 5)\), \(c(-5; -4; 0)\) и \(d(3; 0; -5)\) на координатной плоскости, как найти координаты точек \(b\) и \(а\), расстояние между точками \(b\) и \(а\), координаты середины \(р\) отрезка между точками \(с\) и \(d\), а также как найти угол между векторами.