Как изменяются модули тангенциального и нормального ускорений частицы, а также как зависит радиус кривизны траектории

Для решения этой задачи мы сначала должны выразить модули тангенциального и нормального ускорений частицы через модуль скорости и радиус кривизны траектории. Затем мы найдем, как эти величины изменяются со временем, используя заданный закон изменения скорости.

Модуль тангенциального ускорения - это скорость изменения модуля скорости частицы, и он направлен по касательной к траектории.

Тангенциальное ускорение \(a_t\) может быть вычислено как производная модуля скорости по времени:
\[a_t = \frac{{dυ}}{{dt}}\]

Исходя из данного закона изменения скорости \(\upsilon = 3at + b\), найдем производную модуля скорости:
\[\frac{{d\upsilon}}{{dt}} = 3a\]

Таким образом, модуль тангенциального ускорения равен \(3a\), и он будет постоянным со временем.

Модуль нормального ускорения - это ускорение, направленное в сторону центра окружности, по которой движется частица. Оно связано с радиусом кривизны траектории \(R\) следующим образом:

\[a_n = \frac{{\upsilon^2}}{{R}}\]

Модуль скорости частицы \(\upsilon\) уже задан в условии. Нам нужно найти зависимость радиуса кривизны траектории \(R\) от времени.

Для этого мы воспользуемся связью между модулем нормального ускорения \(a_n\), радиусом кривизны траектории \(R\), и модулем полного ускорения \(a\):

\[a_n = \frac{{\upsilon^2}}{{R}} = R \cdot a\]

Теперь мы можем выразить радиус кривизны \(R\) через модуль нормального ускорения \(a_n\):

\[R = \frac{{\upsilon^2}}{{a_n}}\]

Зная, что модуль полного ускорения \(a\) равен:

\[a = \sqrt{{a_t^2 + a_n^2}}\]

Мы можем выразить модуль нормального ускорения \(a_n\) через модуль полного ускорения \(a\) и модуль тангенциального ускорения \(a_t\):

\[a_n = \sqrt{{a^2 - a_t^2}}\]

Используя данное выражение для \(a_n\), мы можем выразить радиус кривизны \(R\) через модуль полного ускорения \(a\) и модуль тангенциального ускорения \(a_t\):

\[R = \frac{{\upsilon^2}}{{\sqrt{{a^2 - a_t^2}}}}\]

Таким образом, модуль тангенциального ускорения \(a_t\) остается постоянным, равным \(3a\), а радиус кривизны траектории \(R\) зависит от модуля полного ускорения \(a\) и модуля скорости \(\upsilon\) по закону \(R = \frac{{\upsilon^2}}{{\sqrt{{a^2 - (3a)^2}}}}\).