Как изменяется расстояние между двумя материальными точками в одной системе координат, когда векторы их скоростей

Для начала, давайте найдем векторы скорости точек в момент времени \(t = 3\) секунды. Подставим данное значение времени в выражения для \(v_1\) и \(v_2\) и рассчитаем их:

\[v_1 = 5 \cdot 3i + 2 \cdot (3)^2j + 3k = 15i + 18j + 3k\]
\[v_2 = 4i + 3j + 2 \cdot (3)^2k = 4i + 3j + 18k\]

Теперь, чтобы определить расстояние между точками, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Здесь \(x_1\), \(y_1\), \(z_1\) - координаты первой точки, а \(x_2\), \(y_2\), \(z_2\) - координаты второй точки. Найдем координаты точек в момент времени \(t = 3\) секунды:

Для первой точки:
\[x_1 = 0\]
\[y_1 = 0\]
\[z_1 = 0\]

Для второй точки:
\[x_2 = \int_0^3 v_{2x} dt\]
\[y_2 = \int_0^3 v_{2y} dt\]
\[z_2 = \int_0^3 v_{2z} dt\]

Интегрируя каждую компоненту вектора скорости \(v_2\) по времени от 0 до 3:

\[x_2 = \int_0^3 4 dt = 4 \cdot t |_0^3 = 4 \cdot 3 - 4 \cdot 0 = 12\]
\[y_2 = \int_0^3 3 dt = 3 \cdot t |_0^3 = 3 \cdot 3 - 3 \cdot 0 = 9\]
\[z_2 = \int_0^3 18 dt = 18 \cdot t |_0^3 = 18 \cdot 3 - 18 \cdot 0 = 54\]

Таким образом, в момент времени \(t = 3\) секунды, координаты первой точки остаются равными \(x_1 = 0\), \(y_1 = 0\), \(z_1 = 0\), а координаты второй точки равны \(x_2 = 12\), \(y_2 = 9\), \(z_2 = 54\).

Теперь, чтобы построить график зависимости расстояния между этими точками от времени, при различных значениях времени \(t\), вычислим значение расстояния \(d\) для каждого значения \(t\) и построим график.

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставим значения координат в формулу:

\[d = \sqrt{(12 - 0)^2 + (9 - 0)^2 + (54 - 0)^2}\]
\[d = \sqrt{12^2 + 9^2 + 54^2}\]
\[d = \sqrt{144 + 81 + 2916}\]
\[d = \sqrt{3141}\]

Получается, что расстояние между этими точками в момент времени \(t = 3\) секунды составляет \(\sqrt{3141}\) единиц длины.

Проведя аналогичные вычисления для различных значений времени \(t\), мы можем построить график зависимости расстояния между точками от времени. Чем больше времени прошло, тем больше расстояние между точками будет расти.