Как изменится определенный интеграл при обмене верхнего и нижнего пределов интегрирования?

При обмене верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл изменится только знаком. Давайте рассмотрим это более подробно.

Пусть у нас есть определенный интеграл \(\int_{a}^{b} f(x)dx\), где \(a\) и \(b\) - пределы интегрирования, а \(f(x)\) - подынтегральная функция.

Интеграл можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x)\), осью \(x\) и прямыми \(x = a\) и \(x = b\).

Если мы меняем местами верхний и нижний пределы интегрирования, то получим определенный интеграл \(\int_{b}^{a} f(x)dx\).

Геометрически это означает, что мы меняем направление измерения площади фигуры. Если изначально площадь была вычислена положительно, то при изменении пределов интегрирования она будет вычислена отрицательно, и наоборот.

Математически это описывается следующим образом:

\(\int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx\)

Таким образом, интеграл изменится только знаком, а его абсолютное значение сохранится.

Это свойство обмена пределами интегрирования может быть полезно при вычислении интегралов с помощью метода замены переменной или при использовании определенных интегралов для вычисления суммы площадей различных фигур или графиков функций.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как изменяется определенный интеграл при обмене верхнего и нижнего пределов интегрирования.